Python 和 Ruby 中的數學/Python 中的分數

分數模組的官方 Python 文件在此。

將非整數的數字寫成分數可以追溯到埃及人和巴比倫人，早於小數的使用。只要分母不是 10 的冪，我們仍然經常使用分數，儘管它們可能被某種程度上隱藏起來。

1. 如果我們說一個人的身高是 5 英尺 7 英寸，那麼他以英尺為單位的身高是$5+{\frac {7}{12}}={\frac {67}{12}}$（一英尺有十二英寸）；
2. 當我們說現在是早上 8:13 時，我們的意思是自午夜以來已經過去了正好$8+{\frac {13}{60}}={\frac {493}{60}}$小時（493 分鐘）。
3. 當羅密歐抱怨他已經等了超過三刻鐘來等茱麗葉時，他正用分數表達他等待時間的長度……
4. 機率通常以分數表示（通常是埃及分數），例如“我中彩票的機會是一千萬分之一”，或者“賠率是 5 比 1”。
5. 統計資料也可以用分數表示：“每 6 個人中有 5 個人穿毛衣”。

方程 0.2+0.5=0.7 可以寫成${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{2}}={\frac {7}{10}}$，但方程${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{6}}$無法使用十進位制數字精確地寫出來。Python 將 1/2+1/3 的結果給出為 0.8333333333333333；儘管所有數字都存在，但這並不是精確的答案。

對於分數的精確計算，Python 有一個fractions模組。要使用本章中的指令碼，請從以下行開始

from fractions import *

這將從分數模組匯入所有內容。

獲取分數

在Python中輸入分數${\frac {n}{d}}$，使用Fraction(n,d)，記住要從fractions模組匯入它。

from fractions import *
a = Fraction(24,10)
print(a)             # 12/5

我們發現 Python 在例項化時自動簡化了分數${\frac {24}{10}}$。

如果將 0 作為分母輸入，則分數將不會建立，並且會出現錯誤訊息。我們不能將數字除以 0。

計算出分數後，我們可以獲取它的分子和分母

from fractions import *
a = Fraction(24,10)
print(a.numerator)
print(a.denominator)

當然，${\frac {24}{10}}$的分子在簡化後不再是 24。

要獲取分數的值（它的分子除以它的分母），我們可以將其轉換為“浮點數”——這指的是計算機通常如何儲存非整數的數字（作為“浮點數”）。

from fractions import *
a = Fraction(24,10)
print(float(a))

我們也可以將實數轉換為分數，但如果該數字是不能在二進位制中精確表示的數字，則結果可能會令人驚訝。

from fractions import *
a = Fraction.from_float(1.2)
print(a)

而不是${\frac {6}{5}}$，我們得到分數${\frac {5404319552844595}{4503599627370496}}$。這是因為${\frac {6}{5}}$不能在二進位制中精確儲存，就像${\frac {1}{3}}$不能精確地寫成小數一樣。在這種情況下，我們可以透過直接從小數到分數，而無需計算機將其轉換為二進位制來獲得更好的結果。

from fractions import *
a = Fraction('1.2')
print(a)

運算

分數的運算寫法與其他數字相同，但結果通常是分數。

一元運算

取反

要取分數的反，在其前面加上-符號。例如

from fractions import *
a = Fraction(2,-3)
print(-a)

求倒數

要找到分數的倒數，用 1 除以它。

from fractions import *
a = Fraction(5,4)
print(1/a)

加法

兩個分數的和是一個分數。

from fractions import *
a = Fraction(34,21)
b = Fraction(21,13)
print(a+b)

減法

兩個分數的差是一個分數。

from fractions import *
a = Fraction(34,21)
b = Fraction(21,13)
print(a-b)

乘法

兩個分數的積是一個分數。

from fractions import *
a = Fraction(34,21)
b = Fraction(21,13)
print(a*b)

除法

兩個分數的商是一個分數（只要第二個分數不為零）。

from fractions import *
a = Fraction(34,21)
b = Fraction(21,13)
print(a/b)

分數也可以求餘數（或模）。結果是一個分數。

from fractions import *
a = Fraction(32,7)
b = Fraction(7,2)
print(a%b)

冪

如果指數是整數，則分數的冪是一個分數。

from fractions import *
a = Fraction(3,2)
print(a**12)
print(a**(-1))

但如果指數是實數，則分數的冪是一個實數。

from fractions import *
a = Fraction(9,4)
print(a**0.5)

演算法

Farey 約簡

使用 Python 的 fractions 模組可以輕鬆建立Farey 序列。

from fractions import *
def Farey(a,b):
    n = a.numerator+b.numerator
    d = a.denominator+b.denominator
    return Fraction(n,d)


a = Fraction(3,4)
b = Fraction(1,13)
print(Farey(a,b))

這可以用來生成Stern-Brocot 樹；這可能不會解釋太多，但它在數學中有所應用。

埃及分數

埃及分數由一系列整數的倒陣列成；埃及人以不使用分子而聞名。任何分數都可以寫成埃及分數的和，我們可以使用斐波那契演算法為任何分數找到這樣的和。在下面的 Python 示例中，該演算法生成一個分數列表，所有分數的分子都為 1，這些分數加起來等於給定的分數 f。由於 f 可能大於 1，因此我們從一個整數開始列表。

from fractions import *
from math import ceil

def egypt(f):
    e = int(f)
    f -= e
    parts = [e]
    while(f.numerator>1):
        e = Fraction(1, int(ceil(1/f)))
        parts.append(e)
        f -= e
    parts.append(f)
    return parts

a = Fraction(21,13)
print(egypt(a))            # [1, Fraction(1, 2), Fraction(1, 9), Fraction(1, 234)]
print(sum(egypt(a))        # 21/13 (confirming that these fractions add up to the original value)

上面程式碼的一些解釋：每個埃及分數的分母應該是一個整數，並且大於分數 f 的倒數，以便演算法收斂。一種解決方案是將倒數向下舍入到整數（使用 int）並加 1。但是，如果 f 的倒數是整數，則加 1 會導致一個無限級數。因此，我們使用 ceil 函式，向上舍入到整數。因此

1. 我們必須從 math 模組匯入此函式。
2. ceil(1/f) 的結果是一個實數，而不是整數，因此我們不能直接在分數中使用它（Python 會報錯）。我們使用 int 將其轉換為整數。

最後，我們必須將最後一個埃及分數新增到列表中，以完成級數。

執行上面的指令碼，我們發現$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{234}}={\frac {21}{13}}$。