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Maxima/資料結構

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"我必須說，Maxima 當前的陣列/矩陣語義很混亂，至少有四種不同型別的物件（雜湊陣列、顯式列表、顯式矩陣和 Lisp 陣列）支援帶有不同語義的下標。" [1]

"Maxima 的陣列、列表和矩陣的概念非常混亂，因為在該專案的多年發展過程中，各種想法逐漸累積...是的，這確實很亂。對此我表示歉意。這些都是有趣的想法，但沒有統一的框架。" [2]

陣列

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Maxima 有兩種陣列型別：[3]

  • 未宣告陣列（以 Lisp 雜湊表實現）
  • 已宣告陣列（以 Lisp 陣列實現）
    • 由 array 函式建立
    • 由 make_array 函式建立。


類別：陣列

  • array
  • arrayapply
  • arrayinfo
  • arraymake
  • arrays - 全域性變數
  • fillarray
  • listarray
  • make_array
  • rearray
  • remarray
  • subvar
  • use_fast_arrays

另請參閱

  • 由 := 和 define 定義的陣列函式。


未宣告陣列

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賦值會建立一個未宣告陣列。

(%i1) c[99] : 789;
(%o1)                          789
(%i2) c[99];
(%o2)                          789
(%i3) c;
(%o3)                           c
(%i4) arrayinfo (c);
(%o4)                   [hashed, 1, [99]]
(%i5) listarray (c);
(%o5)                         [789]


"如果使用者在宣告相應的陣列之前對下標變數賦值，則會建立一個未宣告陣列。未宣告陣列，也稱為雜湊陣列（因為對下標進行雜湊編碼），比已宣告陣列更通用。使用者不需要宣告其最大大小，並且隨著分配更多元素的值，它們會透過雜湊動態增長。未宣告陣列的下標甚至不需要是數字。但是，除非陣列非常稀疏，否則在可能的情況下宣告它可能比不宣告它更有效。"（來自 Maxima CAS 文件）

"如果執行以下操作，則會建立：" 

b[x+1]:y^2

"（並且 b 尚未是陣列、列表或矩陣 - 如果它是其中之一，則會導致錯誤，因為 x+1 對於 art-q 陣列、列表或矩陣而言不是有效的下標）。

它的索引（也稱為鍵）可以是任何物件。它一次只接受一個鍵（b[x+1,u]:y 會忽略 u）。引用是透過 b[x+1] ==> y^2 完成的。當然，鍵可以是列表，例如

 b[[x+1,u]]:y

是有效的。"（來自 Maxima CAS 文件）

已宣告陣列

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  • 宣告陣列（給出名稱並分配記憶體）
  • 填充陣列
  • 處理陣列


array 函式

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Function: array (name, type, dim_1, …, dim_n)

建立一個 n 維陣列。這裡

  • type 可以是 fixnum（用於有限大小的整數）或 flonum（用於浮點數）
  • n 可以小於或等於 5。第 i 維的下標是從小到大執行的整數，從 0 到 dim_i。
(%i5) array(A,2,2);
(%o5)                                  A
(%i8) arrayinfo(A);
(%o8)                      [declared, 2, [2,2]]

因為陣列 A 元素的下標從 0 到 dim，所以陣列 A 有

( dim_1 + 1) * (dim_2 + 1) = 3*3 = 9

個元素。


array 函式可以用於將未宣告陣列轉換為已宣告陣列。

arraymake 函式

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Function: arraymake (A, [i_1, …, i_n])

結果是一個未計算的陣列引用。

(%i12) arraymake(A,[3,3,3]);
(%o12)                    array_make(3, 3, 3)
                                           3, 3, 3
(%i13) arrayinfo(A);
       arrayinfo: A is not an array.

函式：make_array

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Function: make_array (type, dim_1, …, dim_n)

建立並返回一個 Lisp 陣列。

Type 可以是

  • 任何
  • flonum
  • fixnum
  • hashed
  • functional。

有 n 個索引，第 i 個索引從小到大執行，從 0 到 dim_i - 1。

make_array 相對於 array 的優勢在於，返回值沒有名稱，並且一旦指向它的指標消失，它也會消失。例如，如果 y: make_array (...)，那麼 y 指向一個佔用空間的物件，但在 y: false 之後，y 不再指向該物件，因此該物件可以被垃圾回收。

示例

(%i9) A : array_make(3,3,3);
(%o9)                         array_make(3, 3, 3)
(%i10) arrayinfo(A);
(%o10)                     [declared, 3, [3, 3, 3]]

列表

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對列表元素的賦值。

(%i1) b : [1, 2, 3];
(%o1)                       [1, 2, 3]
(%i2) b[3] : 456;
(%o2)                          456
(%i3) b;
(%o3)                      [1, 2, 456]



(%i1) mylist : [[a,b],[c,d]];
(%o1) [[a, b], [c, d]]

由 Burkhard Bunk 提供的有趣示例：[4]

lst: [el1, el2, ...];         contruct list explicitly
lst[2];                       reference to element by index starting from 1
cons(expr, alist);            prepend expr to alist
endcons(expr, alist);         append expr to alist
append(list1, list2, ..);     merge lists
makelist(expr, i, i1, i2);    create list with control variable i
makelist(expr, x, xlist);     create list with x from another list     
length(alist);                returns #elements
map(fct, list);               evaluate a function of one argument
map(fct, list1, list2);       evaluate a function of two arguments

類別：列表

  • [
  • ]
  • append
  • assoc
  • cons
  • copylist
  • create_list
  • delete
  • eighth
  • endcons
  • fifth
  • first
  • flatten
  • fourth
  • fullsetify
  • join
  • last
  • length
  • listarith
  • listp
  • lmax
  • lmin
  • lreduce
  • makelist
  • member
  • ninth
  • permut
  • permutations
  • pop
  • push
  • random_permutation
  • rest
  • reverse
  • rreduce
  • second
  • setify
  • seventh
  • sixth
  • some
  • sort
  • sublist
  • sublist_indices
  • tenth
  • third
  • tree_reduce
  • xreduce

乘積

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/* example by Burton Willis */
(%i28) P1(s) := rectform(product(s[i],i, 1, length(s)))$

(%i29) P2(s) := xreduce(lambda([a,b], rectform(a*b)),s)$

(%i30) s : makelist(random(1.0)+%i*random(1.0),10^4)$

(%i31) P1(s);
Evaluation took 32.3080 seconds (32.3860 elapsed) using 17944.301 MB.
(%o31) 0.0

(%i32) P2(s);
Evaluation took 0.0620 seconds (0.0620 elapsed) using 8.343 MB.
(%o32) 0.0

矩陣

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"在 Maxima 中，矩陣是以巢狀列表（即矩陣的行列表）實現的"。例如：[5]

(($MATRIX) ((MLIST) 1 2 3) ((MLIST) 4 5 6))

從巢狀列表構建矩陣

(%i3) M:matrix([1,2,3],[4,5,6],[0,-1,-2]);
                                [ 1   2    3  ]
                                [             ]
(%o3)                           [ 4   5    6  ]
                                [             ]
                                [ 0  - 1  - 2 ]


由 Burkhard Bunk 提供的有趣示例：[6]

A: matrix([a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]);     /* (3x3) matrix */
u: matrix([x, y, z]);                           /* row vector */
v: transpose(matrix([r, s, t]));                /* column vector */

對元素的引用等

u[1,2];                 /* second element of u */
v[2,1];                 /* second element of v */
A[2,3];   or  A[2][3];  /* (2,3) element */
A[2];                         /* second row of A */
transpose(transpose(A)[2]);   /* second column of A */

逐元素運算

A + B;     
A - B;
A * B;      
A / B;
A ^ s;      
s ^ A;

矩陣運算

A . B;                  /* matrix multiplication */
A ^^ s;                 /* matrix exponentiation (including inverse) */
transpose(A);
determinant(A);
invert(A);




類別：矩陣：[7]

  • addcol
  • addrow
  • adjoint
  • augcoefmatrix
  • cauchy_matrix
  • charpoly
  • coefmatrix
  • col
  • columnvector
  • covect
  • copymatrix
  • determinant
  • detout
  • diag
  • diagmatrix
  • doallmxops
  • domxexpt
  • domxmxops
  • domxnctimes
  • doscmxops
  • doscmxplus
  • echelon
  • eigen
  • ematrix
  • entermatrix
  • genmatrix
  • ident
  • invert
  • list_matrix_entries
  • lmxchar
  • matrix
  • matrix_element_add
  • matrix_element_mult
  • matrix_element_transpose
  • matrixmap
  • matrixp
  • mattrace
  • minor
  • ncharpoly
  • newdet
  • nonscalar
  • nonscalarp
  • permanent
  • rank
  • ratmx
  • row
  • scalarmatrixp
  • scalarp
  • setelmx
  • sparse
  • submatrix
  • tracematrix
  • transpose
  • triangularize
  • zeromatrix

函式：matrix

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Function: matrix (row_1, …, row_n)

返回一個矩形矩陣，該矩陣具有行 row_1、…、row_n。每行都是表示式列表。所有行必須具有相同的長度。

. 運算子

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"點運算子，用於矩陣（非交換）乘法。當 "." 以這種方式使用時，應該在兩側留出空格，例如

A . B

這清楚地區分了它與浮點數中的小數點。

. 運算子表示非交換乘法和標量積。當運算元是 1 列或 1 行矩陣 a 和 b 時，表示式 a.b 等效於 sum (a[i]*b[i], i, 1, length(a))。如果 a 和 b 不是複數，則這是 a 和 b 的標量積，也稱為內積或點積。標量積定義為 conjugate(a).b，其中 a 和 b 是複數；eigen 包中的 innerproduct 提供複數標量積。

當運算元是更一般的矩陣時，乘積是矩陣乘積 a 和 b。b 的行數必須等於 a 的列數，結果的行數等於 a 的行數，列數等於 b 的列數。

為了將 . 作為算術運算子與浮點數中的小數點區分開來，可能需要在兩邊留出空格。例如，5.e3 為 5000.0，而 5 . e3 為 5 乘以 e3。

有幾個標誌控制著涉及 . 的表示式的簡化，它們分別是 dot0nscsimp、dot0simp、dot1simp、dotassoc、dotconstrules、dotdistrib、dotexptsimp、dotident 和 dotscrules。（來自 Maxima CAS 文件）

向量

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類別：向量 

  • 向量
  • eigen
  • 表示式
  • nonscalar
  • nonscalarp
  • scalarp

類別：包 vect[8]

  • vect
  • 縮放因子
  • vect_cross
  • vectorpotential
  • vectorsimp
  1. ↑ Maxima：Stavros Macrakis 的語法改進
  2. ↑ Maxima：Maxima 將“陣列”稱為什麼？ - 由 Robert Dodier 回答
  3. ↑ Maxima 郵件列表： [Maxima] 陣列和矩陣？ - 由 Robert Dodier 回答
  4. ↑ Burkhard Bunk 的 Maxima 概述
  5. ↑ Maxima 郵件列表： [Maxima] 陣列和矩陣？ - 由 Robert Dodier 回答
  6. ↑ Burkhard Bunk 的 Maxima 概述
  7. ↑ Maxima 手冊：類別矩陣
  8. ↑ Maxima 手冊：包 vect
取自 "https://wikibook.tw/w/index.php?title=Maxima/Data_structures&oldid=4231609"
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