心算

心算 - 有效心算指南

關於符號的說明：本書一般使用英語/美國符號風格。這包括使用逗號作為長數字中千位分隔符（例如 32,000 = 三萬二千），使用句號（點）作為小數點。

在腦子裡計算東西可能是一項艱鉅的任務。如果你記不住你算過的結果，或者根本不知道如何解決問題，那麼這將非常具有挑戰性且令人沮喪。但透過學習和練習利用數學規律的方法，你可以顯著提高算術的速度和準確性。這些方法通常被稱為“高速心算”。即使在我們生活的計算機世界中，心算也是一項寶貴的技能。

1. 具備良好的心算技能可以節省時間，因為你不再需要每次做任務時都拿出計算器（或手機）。
2. 心算技能將提高你估計結果的能力，從而更好地識別計算機結果中的錯誤。例如，雖然計算器通常會給出正確答案，但基於輸入內容，如果你不小心輸入了錯誤的數字，如果你沒有良好的心算技能，你可能不會發現你的錯誤。

加法

所有算術的基礎是加法，也稱為求和。與所有心算一樣，你可以透過學習使用一些基本規律來提高加數字的能力。

改變加法順序

在尋找可以幫助你快速完成加法問題的規律時，改變你加數字的順序可能會有所幫助。例如，8+1 等於 1+8，在這兩種情況下，你只需從 8 加 1，就能得到答案 9。如果你在加法問題上卡住了，嘗試改變你加的第一個數字的順序，看看是否有幫助。

加零、一或二

除非你完全不熟悉加法，否則你肯定知道加零的規律。任何數加上零等於原來的數。因此，當你看到加法問題中出現零時，你可以基本上忽略它，因為它不會對答案有任何影響。對於那些對數學瑣事感興趣的人來說，零在加法中不改變任何東西的這個性質，在算術中被稱為“恆等性質”。另外，請記住，你只能在加法和有時在減法中忽略零。在乘法和除法中，問題中出現零總是會改變結果。你可能也知道加一的規則，即簡單地數到下一個數字。這也可以快速應用於加二，你可以數到下一個數字，或者如果你對奇數和偶數很熟悉，你可以跳到下一個奇數或偶數。為了理解使用奇數和偶數規律，你可能熟悉那個有偶數的口號：“2、4、6、8，我們感謝誰？”如果我們加 6+2，我們將跳到下一個偶數，也就是 8。類似地，奇數是 1、3、5、7，所以 2+7 將是下一個奇數，也就是 9。

加九或八：從十倒數

你肯定也知道另一個算術規律，就是如何在數字上加 10。例如，2+10 是 12，或者 6+10 是 16。我們可以利用這個規律來幫助我們加 9 或 8。由於 9 比 10 少 1，你可以透過在數字上加 10 然後倒數 1 來加 9。例如，要計算 9+7，你可以加 10+7，結果是 17，然後倒數 1，得到 16。類似地，在數字上加 8 時，你也可以加 10，然後倒數 2 個數字。因此，例如，8+7 可以透過加 10+7，結果是 17，然後倒數 2，得到 15。如果你對奇數和偶數很熟悉，你也可以使用與加 2 時類似的規律，只需跳到下一個偶數或奇數。或者你可以說，當加 9 時，你知道它將是一個更大的數字，例如，9+8，你知道它會是一個兩位數，所以先減 1，9+8 = 1，然後從 8 中減 1，得到 7，現在將它們並排寫在一起，得到 17。

加倍和接近加倍

你可能已經很擅長加倍數字，例如 2+2。加倍數字與乘以 2 相同。這也意味著，如果你已經學會了用數字計數，例如用 4 計數，你就知道它是 4、8、12、16…因此 4+4 是 8。一旦你擅長加倍，你就可以利用這種知識來加倍相近的數字，只需加 1 或減 1 即可。因此，例如，8+7 可以透過加 8+8，結果是 16，然後減 1，得到 15。（如果你覺得更容易，你也可以透過加 7+7，結果是 14，然後加 1 得到 15。）

加五

這個技巧比我們之前談到的其他技巧要難一點，但是練習幾次可能會有所幫助。當把5加到另一個數時，目標是“在另一個數中找到5”，然後加上或減去剩餘的數字。例如，當加5+8時，你可以說8是5+3，所以5+8是5+5+3，或者13。如果你不能掌握這個方法，不要擔心，因為大多數情況下，你可以使用其他已經教過的方法來找到答案。

湊十或接近十

記住加起來等於10的數字組合很有用，比如

• 0+10
• 1+9
• 2+8
• 3+7
• 4+6
• 5+5

通過了解這些組合，如果你看到一個略微不同的組合，你就會知道是加1還是減1。例如，4+7中的7比6高1，所以這個組合應該加起來等於11，因為4+6=10，所以4+6+1=11。

透過找到加起來等於10的倍數的數字來對數字組求和

當加很多小數時，一個有用的技巧是將加起來等於10的倍數的數字組合在一起。例如，如果你需要加2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8，可以重新排列成(3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45。這種方法在進行三位數以上的豎式加法時也很有用。例如，在下面的問題中

 56
 35
 47
 21
 12
 32
+23 
---

豎式加法通常是透過將個位上的數字加起來，進位，然後將十位上的數字加起來，依此類推。一個使這個任務更容易的方法是將個位上的數字分成十組，並在你的紙上標記它們，如下所示

 5 6
 3 5
 4 7\
 2 1 \
 1 2  -- 10
 3 2 /
+2 3/ 
---

同樣，6、2和2會被劃掉，得到另一個10。因此，個位上的數字加起來等於10+10+5+1（剩下的）或26。

減法

在減數字時，一個有用的技巧是從較小的數字開始，然後在心裡跳躍到差值，並在可識別的邊界處跳躍，例如10的冪。例如，為了從213中減去67，我將從67開始，然後加上3 + 30 + 100 + 13。試一次，你就會發現它有多麼容易。大聲說出你的想法，它應該是“三，三十三，一百三十三加上剩下的13是一百四十六”。第二個方法是將你要減去的數字分解。所以，與其做1000-258，不如做1000-250，然後減去8。

從以1後跟零組成的數字中減法：100；1,000；10,000；等等

例如，1,000 - 258 我們只需將258中的每個數字從9中減去，最後一個數字從10中減去。

         2           5             8
         from 9      from 9        from 10
         7           4             2

所以答案是1,000 - 258 = 742

注意，如果被減數（減數）以一系列零結尾，你從10中減去最後一個非零數字，並將尾隨零保留。例如：10,000 - 5920 = {9-5}{9-9}{10-2}0 = 4080。對於從以1後跟零組成的數字中減法，這總是有效：100；1000；10,000等等。另一種簡單地思考這種方法的方式是，如果從1,000中減去，總是從999中減去，然後加回1。對於10,000，從9999中減去並加1。例如，1000-555 = 999 - 555 + 1= 444 + 1 = 445 同樣，10,000 - 1068 = (9999-1068)+1 = (8931)+1 =8932 所以答案是10,000 - 1068 = 8932 對於1,000 - 86，我們有更多的零，而不是被減去的數字，我們只需假設86是086。所以1,000 - 86 變成 1,000 - 086 = 914

使用9的技巧（10的補碼加法）處理更大的數字

上面的技巧可以擴充套件到以下方式處理任意長度的數字：使用上面的九的技巧，從大於減數的下一個十的冪中減去減數，然後將結果加到減數中，但不要進位最終的'1'。

例子

1,254,953-34,064

34,064 透過九的技巧變成 9,965,936（注意，我們在開頭用9填充，使其與減數的長度相同）。現在加

11   1 1
 1,254,953
+9,965,936
 1,220,889

再次注意，我們不將左側最終進位的“1”包含在結果中。

從左到右減法

正常的減法是從右到左執行的，當需要借位時，從左邊借位。然而，我們從左到右閱讀，數字也是以相同的順序大聲讀出，所以能夠從左到右減法也很方便。我們可以透過預設預先借位，然後在繼續到下一列時（如果需要借位）新增進位來做到這一點。這種技巧還減少了從右到左傳播借位時需要進行的腦力勞動量。

例子

 9543
-1992

首先從9中預先借位，剩下8，然後減去千位

  1
 8543
-1992
 7

現在從百位上的15中預先借位，剩下14，然後減去

  11
 8443
-1992
 75

現在從十位上的14中預先借位，剩下13，然後減去

  111
 8133
-1992
 754

最後一列，我們沒有可借位的數字，所以我們只需減去。在這種情況下，我們沒有得到單個數字，所以我們將它進位到十位

  111
 8133
-1992
 7551

我們完成了！7551是正確的答案。

乘法

0到10的乘法表

0、1和10的規律

你可能已經知道用0、1和10乘法的規律。但如果你不知道，任何數乘以0都是0。任何數乘以1，結果仍然是它本身，任何數乘以10，在末尾加一個零，所以29x10是290

2、4和8的規律

用2乘法只是將一個數字加倍，所以加倍的規律是一樣的。用4乘法是加倍兩次。所以12x4，可以透過12+12，也就是24，然後24+24，也就是48來找到。同樣，用8乘法是加倍三次，所以12x8是12+12，也就是24，然後24+24，也就是48，然後48+48，也就是96。如果你用平方數（可以連續除以2直到到達1，而不涉及分數）乘法，那麼這種方法總是有效的。

9的規律

用9乘法有一個特殊的規律。當用一位數乘以9時，答案總是以比該數小1的數字開頭，然後另一個數字加起來等於9。這聽起來可能很複雜，但讓我們看一個例子。如果我們想做9x6，只需讓你的第一個數字比6小1，所以我們知道答案將以5開頭，然後下一個數字必須加起來等於9，所以當加到5時等於9的數字是4，所以9x6的答案是54。另一種思考這種方法的方式是，你用10乘以該數，然後從乘積中減去該數。如果你這樣想，那麼這個例子就變成了10x6 = 60，然後60-6 = 54。

5的規律

任何數乘以5的結果都以5或0結尾。一種方法是先乘以10，然後將結果除以2。另一種方法是按5遞增計數。

"數字鄰居"

如果您不知道某個問題的答案，您可能知道其中一個數字比問題中數字多一個或少一個的答案。例如，如果您不知道7 x 6的答案，您可能知道6 x 6是36，然後您只需再加一個6就能得到42。

乘以較大的數字

當乘以較大的數字時，選擇正確的加法運算至關重要。如果您直接將251乘以323，這可能非常困難，但實際上如果採用正確的方法，這是一個非常簡單的運算。251x3 + 251x20 + 251x300 看起來很嚇人，所以您必須找出最簡單的方法。

四捨五入

首先要做的就是看看數字是否接近任何容易計算的數字。在這個例子中，非常方便地，有數字251，它靠近250。所以您只需要做323x250 + 323 - 這樣簡單得多，但323x250 仍然看起來不太簡單。然而，有一種簡單的方法可以乘以250，這也可以應用於其他數字。您將數字乘以1000，然後除以4。所以323x1000 = 323,000，除以2得到161,500，再除以2得到80,750。現在這可能看起來並不容易，但一旦您習慣了，以這種方式除以4（或其他較小的數字）就會變得自然，並且只需要一小部分時間。80,750+323 = 81,073，因此您用最少的努力得到了答案，與您原本要做的相比。您不能總是這麼容易做到這一點，但始終有用的是按照這種風格尋找更明顯的捷徑。在某些情況下，更有效的方法是瞭解一組情況的簡單規則。可以找到大量的規則，其中一些將在下面解釋。

對於這種乘法，有些人會在腦中算出 251 × 323 = 250 × (320 + 3) + 1 × 323（簡單），因為 250 × 320 的乘法並不難：25 × 32 = 25 × 4 × 8 = 100 × 8 = 800（有些人會立即得出這個結果），所以 250 × 320 是 80,000。因此，考慮到所有因素，251 × 323 = 250 × 320 + 250 × 3 + 1 × 323 = 80,000 + 750 +323 = 81,073。

因式分解

如果您認識到一個或兩個數字都容易被整除，這是一種使問題變得容易得多的方法。例如，72 x 39 看起來很嚇人，但如果看成 8 x 9 x 3 x 13，它就會變得容易得多。首先，將數字按照最難乘的順序排列。在這種情況下，我建議使用 13 x 8 x 9 x 3。然後將它們逐個相乘。

1. 13 x 8 = 10 x 8 + 3 x 8 = 80 + 24 = 104
2. 104 x 9 = 936
3. 936 x 3 = 2808，這將等於另一個數字

這將等於一個全新的分數

乘以11

要將任何兩位數乘以11，我們只需將兩個數字的總和放在這兩個數字之間。例如：27x11 可以寫成 [2][2+7][7]。因此，27x11=297。另一個例子：33x11 可以寫成 [3][3+3][3]。因此，33x11=363。為了視覺化

 330
+ 33
----
 363

進位：77 x 11 = 847 這涉及一個進位，因為 7 + 7 = 14，我們得到 77 x 11 = [7][14][7]。我們將 14 中的 1 作為進位加到 7 上，得到 77x11=847。類似地，84x11 可以寫成 [8][8+4][4]=[8][12][4]。12 中的 1 作為進位加到 8 上，得到 84x11=924。對於三位數乘以11：254 x 11 = 2794 我們將 2 和 4 放在兩端。我們將第一對加起來 2 + 5 = 7。我們也將最後一對加起來：5 + 4 = 9。所以我們可以將 254 x 11 寫成 [2][2+5][5+4][4]，即 254x11=2794。類似地，909x11 可以寫成 [9][9+0][0+9][9]，即 909x11=9999。

乘以99, 999, 9999等

要將數字 A 乘以 99，您可以將 A 乘以 100，然後從結果中減去 A。當數字 A 是兩位數或一位數時，結果將是 (A - 1) 後面跟著 (100 - A)。例如，當我們將 65 乘以 99 時，我們得到 6435。類似地，要將數字 A 乘以 999，您可以將 A 乘以 1000，然後從結果中減去 A。當數字 A 是三位數、兩位數或一位數時，結果將是 (A - 1) 後面跟著 (1000 - A)。例如，當我們將 611 乘以 999 時，我們得到 610389。這個相同的想法可以用於乘以任何只包含 9 的大數字。

首位數字相同，末位數字加起來為10

假設您要將兩個數字相乘，目前只有兩個兩位數（儘管這些規則可以適用於其他數字），這兩個數字的首位數字相同，它們的個位數字之和為 10。例如，87×83（個位數字之和：7+3=10）。您將首位數字乘以比它自身大一的數字（8×9 = 72）。然後將末位數字相乘（7×3 = 21）。然後將第一個答案放在第二個答案的前面，得到答案（7221）。維基百科關於 斯瓦米·巴拉提·克里希納·提爾塔的吠陀數學 的文章中給出了一個簡單的證明。如果個位數字相乘的結果小於10，只需在數字前面加一個零（即，9 變成 09）。例如，59×51 等於 [5×6][9×1]，等於 [30][09]。因此，59×51 = 3009。

將以5結尾的數字平方

這是前面方法的一個特例。去掉 5，將剩餘的數字乘以它本身加 1。然後加上 25（與前面部分一樣，這是 5x5）。例如，65x65。從 65 中去掉 5，剩下 65 = 6。將 6 乘以它本身加 1，得到 42（6x7 = 42）。加上 25 得到 4225，所以 65x65=4225。例如，45x45 可以寫成 [4x5][5x5]，因此 45x45 = 2025

將兩位數平方

與其做 14² 或 47² 作為 14x14 或 47x47，更好的方法是

142
= 10 x 1(14 + 4) + (4 x 4)
= 10(18) + 16
= 180 + 16
= 196

換句話說，將個位數字加到數字上，將結果乘以原來十位上的數字（有時您會得到一個十位數字加一的和，例如 47 + 7 = 54，所以在本例中使用 4，而不是 5），在末尾加上一個零，然後加上個位數字的平方。所以

472
= 10 × 4(47 + 7) + (7 × 7)
= 10 × 4(54) + 49
= 10 × 216 + 49
= 2160 + 49 = 2209

現在我們知道 47² 等於 2209。當平方兩位數時，如果該兩位數僅比以零結尾的數字大 1，你可以使用基本代數公式：(A+1)^2 - (A*2)；或 (A+1)(A) - A；或 (A+1)^2 - 2(A+1) + 1。例如，當平方 99 時：A + 1 = 100 100^2 = 10000 2 * 100 = 200 10000 - 200 = 9800 9800 + 1 = 9801 當平方兩位數時，如果該兩位數僅比以零結尾的數字小 1，你也可以使用基本代數公式：(A-1)^2 + (A*2)；或 (A-1)(A) + A；或 (A-1)^2 + 2(A-1) + 1。例如，當平方 91 時：91 - 1 = 90 90^2 = 8100 2*90 = 180 8100 + 180 = 8280 8280 + 1 = 8281

當你已知相鄰數字的平方時，平方一個數字

當你需要快速計算一個數字的平方時，知道相鄰數字的平方非常有用。例如，計算 46 的平方，使用上面的 “5” 規則，你知道 45 的平方是 2025。利用這個數字，將 45+46 (91) 加到 2025，結果是 2116。雖然在腦中加 91 到 2025 並不容易，但它肯定比直接計算 46 的平方更容易。使用相鄰已知平方來計算比已知平方小的數字的平方更具挑戰性，這取決於你在腦中進行減法運算的舒適程度。對於減法，使用 45 作為我們的基數，嘗試計算 44 的平方，我們將從已知的 2025 中減去 44 和 45，得到 1936。這可以用來計算不是直接相鄰於已知平方的數字的平方，但它會變得更復雜（在腦中！）。象徵性地：如果 b=a+1 並且 a 和 b 是整數，那麼 b²=a²+|a|+|b|。

略大於 100

這個技巧適用於兩個都略大於 100 的數字，只要兩個數字的最後兩位數字相乘小於 100。例如，對於 103 x 124，3 x 24 = 72 < 100，所以這個技巧有效。對於 117 x 112，17 x 12 = 204 > 100，所以它無效。如果第一個測試有效，那麼答案是

1[最後兩位數字的和][最後兩位數字的乘積]

例子

• 108 x 109 = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11,772
• 105 x 115 = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12,075
• 132 x 103 = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13,596

如果最後兩位數字的加法或乘法結果 < 10，則在數字前面新增一個 0，例如，如果加法結果是 4，則應為 04。下面顯示了示例

• 102 x 103 = 1[2+3][2x3]=1[05][06]=10,506

這個技巧適用於略大於 200、300、400 等的數字，只有一個簡單的變化

[第一位數字的乘積][(最後兩位數字的和) x 第一位數字][最後兩位數字的乘積]

例子

• 215 x 204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43,860

如果最後兩位數字的加法或乘法結果 < 10，則在數字前面新增一個 0，例如，如果加法結果是 4，則應為 04。下面顯示了示例

• 201 x 202 = [2x2][(2+1)x2][2x1]=[4][06][02]= 4,0602

對於略大於 1000、2000 等的數字，使用以下方法

[第一位數字的乘積]0[(最後兩位數字的和) x 第一位數字]0[最後兩位數字的乘積]

例子

• 2008 x 2009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4,034072
  • • 2008 x 2009 = 4,034,072

對於每個數量級（x10），在中間新增兩個零。

略小於 100

這個技巧適用於所有小於 100 的數字，但在 90 多的數字中更快。例如，96*98

答案將是一個四位數，
[xx][xx].
對於最後兩位數字，它是每個乘數與 100 之差的乘積。取第一個數字 96。100-96=4。然後取第二個數字 98。100-98=2。4x2=8。8 將成為我們的最後兩位數字，所以是 08。
[xx][08]
前兩位數字是任何一個數字減去另一個數字與 100 的差。例如，取第一個數字 96。另一個乘數是 98。100-98=2。所以從 96 中減去 2。96-2=94。如果你選擇任何一個數字，你都會得到相同的兩位數字。
[94][08]。所以這個等式的答案是 9408。

除法

同樣，有很多可能的技巧，但你可以使用以下方法，或者自己研究。所有數字都是素數的乘積（你可以透過將素數相乘得到它們）。如果你要進行除法運算，你可以將你要除以的數字的所有素數乘積除以它，得到答案。這意味著 100/24 = (((100/2)/2)/2)/3。雖然這意味著你必須進行更多步驟，但這些步驟都非常簡單。100/2 = 50，50/2 = 25，25/2 = 12.5，12.5/3 = 4⁵/₃₀ = 4¹/₆ = 4.166666666迴圈小數。此外，另一個有用的技巧是，當你必須先乘以然後除以一個數字時，始終先進行除法，直到你得到互質的數字，然後相乘。這樣可以避免數字變得太大。例如，如果你必須進行 (18 * 115)/15，將 115 除以 5，將 18 除以 3，然後將它們相乘更容易，得到 23 * 6 = 138。

乘以倒數

除法等同於乘以倒數。例如，除以 5 等同於乘以 0.2 (1/5=0.2)。要乘以 0.2，只需將數字加倍，然後除以 10。

除以 7

數字 1/7 是一個特殊的數字，等於 $0.{\overline {142857}}$。注意，有六個數字重複，142857。當我們考慮這個數字的整數倍數時，會發生一件很美妙的事情

${\frac {1}{7}}=0.{\overline {142857}}$

${\frac {2}{7}}=0.{\overline {285714}}$

${\frac {3}{7}}=0.{\overline {428571}}$

${\frac {4}{7}}=0.{\overline {571428}}$

${\frac {5}{7}}=0.{\overline {714285}}$

${\frac {6}{7}}=0.{\overline {857142}}$

注意，這七分之六的分數包含相同的六個數字，以相同的順序無限迴圈，但從不同的數字開始。但是，在除以七時，這有什麼用呢？考慮 207/7 這個問題。首先，我們可以將其轉換為 200/7 + 7/7。我們知道 7/7 等於 1，所以答案將是 200/7 + 1。但是 200/7 是多少？它只是 2/7 乘以 100，從上面我們知道 ${\frac {2}{7}}=0.{\overline {285714}}$，所以透過移動小數點，我們知道 ${\frac {200}{7}}=28.{\overline {571428}}$。剩下的就是從 7/7 中新增 1，得到 ${\frac {207}{7}}=29.{\overline {571428}}$.

除以 9

分數 1/9 及其整數倍數相當直接 - 它們只是等於一個小數點，後面跟著分子的一位數，無限迴圈

${\frac {1}{9}}=0.{\overline {11}}$

${\frac {2}{9}}=0.{\overline {22}}$

${\frac {3}{9}}=0.{\overline {33}}$

${\frac {4}{9}}=0.{\overline {44}}$

${\frac {5}{9}}=0.{\overline {55}}$

${\frac {6}{9}}=0.{\overline {66}}$

${\frac {7}{9}}=0.{\overline {77}}$

${\frac {8}{9}}=0.{\overline {88}}$

要解決 367/9 這樣的問題，我們將它簡化為

${\frac {367}{9}}={\frac {300}{9}}+{\frac {60}{9}}+{\frac {7}{9}}$

${\frac {367}{9}}=33.{\overline {33}}+6.{\overline {66}}+0.{\overline {77}}$

首先加上 $33.{\overline {33}}+6.{\overline {66}}=40.0$. 然後加上 $40.0+0.{\overline {77}}=40.{\overline {77}}$.

除以 11

分數 1/11 及其整數倍相對簡單——它們只是等於小數點後緊跟九與整數倍的乘積，無限迴圈

${\frac {1}{11}}=0.{\overline {09}}$

${\frac {2}{11}}=0.{\overline {18}}$

${\frac {3}{11}}=0.{\overline {27}}$

${\frac {4}{11}}=0.{\overline {36}}$

${\frac {5}{11}}=0.{\overline {45}}$

${\frac {6}{11}}=0.{\overline {54}}$

${\frac {7}{11}}=0.{\overline {63}}$

${\frac {8}{11}}=0.{\overline {72}}$

${\frac {9}{11}}=0.{\overline {81}}$

${\frac {10}{11}}=0.{\overline {90}}$

${\frac {36}{11}}=3.{\overline {27}}$

根

小於 1,000,000 的立方根

在繼續之前，請注意前九個立方數的最後一位數字。1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729

請注意，每個立方數的最後一位數字包含 1-9。

對於每個數字，將其分成兩個組。最後三位數字和前面剩餘的數字。對於最後三位數字，找到立方根，其立方數以與它相同的數字結尾。那將是最後一位數字。對於前面的幾位數字，將其向下取整到先前的立方數，並找到該立方數的立方根。那將是第一位數字。

以“148877”為例。將其分成 2 組：148 和 877。從 877 開始。這個數字以 7 結尾，數字 3 是唯一一個立方數以“7”結尾的數字。因此，最後一位數字必須是 3。

看 148。將其向下舍入到前一個立方數 125。125 的立方根是 5，這是第一位數字。將它們組合起來，答案是 53。

此策略不適用於包含小數的立方根，儘管它會提供近似值。

估計

在心算中快速進行估計的最佳方法是將數字四捨五入到一兩位有效數字（即四捨五入到最高位數的最近位），然後進行典型的運算。因此，1242 * 15645 大致等於 1200 * 16000 = 19200000，這與正確答案 19431090 相當接近。在某些情況下，甚至可以簡單地將數字四捨五入到最接近的十的冪（當使用很大的誤差和很大的數字進行估計時，這很有用）。

範圍搜尋

有時用與所需方向相反的方向進行計算更容易，這可用於快速估計所需的值。平方根就是一個很好的例子。平方數字比求平方根更容易。因此，您取任何平方等於您想要的數字略大的數字，取另一個平方等於您想要的數字的數字，然後使用這兩個數字的平均值。現在，訣竅是應用一個通用的技術（二分法）。我們使用前兩個數字的平均值建立一個新的估計值。對該值求平方。如果它的值高於我們想要的，我們將其用作我們範圍的上限。如果它低於我們想要的，我們將其用作我們範圍的下限。我們現在有一個必須包含我們想要的平方根的新範圍。我們可以再次應用相同的過程來獲得更準確的值（這被稱為迭代）。這種技術在計算中得到了廣泛的應用，但對於某些心算也很有用。

其他心算技巧

也許心算中最有用的技巧之一就是記憶。記憶某些數學事實似乎很煩人。但是，當您不必在腦海中進行除法或乘法運算時，它可以極大地加快您的計算速度。一些有用的需要記憶的數學事實包括：完全平方和立方（尤其是 2 的冪）、某些數字的質因數分解以及常用分數的小數等值（例如 1/7 = .1428...）。例如，試圖計算 1024/32 要容易得多，因為您知道它本質上與 2^10/2^5 相同。這些中的許多可以透過頻繁使用來記憶。因此，掌握心算的最佳方法是練習。記憶 3 x 17 = 51 是個好主意。我們可以將其擴充套件到 6 x 17 = 102。如果我們將這些數字四捨五入：3 x 17 大致等於 50，6 x 17 大致等於 100，9 x 17 大致等於 150，依此類推。這些在估計中非常有用，因為 3、6、9、50、100 是常見的數字。

高階數學

對相當複雜的公式進行很好的估計是可能的。範圍搜尋是一種有用的技術。除此之外，您還可以利用許多其他數學規則。

二項式展開

根據二項式定理，我們可以相對容易地展開像這樣的方程

${\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!$

如果$x$ 小於 1，這非常有用。在這種情況下，$x$ 的冪越來越小，我們可以忽略它們。即使對於整數和整數，這也是有用的，因為我們可以將問題分成一個較大的數字和一個較小的數字，然後加起來並求冪。較小數字的冪將變得不那麼重要。然後我們可以忽略展開式中涉及較小數字的項，從而得到一個合理的估計。例如

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

如果 $y$ 的值遠小於 $x$，即使我們不新增 $y^{4},$ $4xy^{3}$，或 $6x^{2}y^{2}$ 項，我們也能得到一個很好的估計。

二項式定理再次幫了我們。這裡我們通常想要算出以下內容，用於複利計算

$(1+x)^{n}$

其中原始本金為 1，$x$ 是短時間內的利率（例如，如果月利率為 5%，那麼 $x=0.05$），而 $n$ 是長時間內的複利頻率（例如 12，如果利率是月利率，而總期限是一年）。

使用這個理論，我們可以粗略地估計為

$1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}$

儘管這只是一個簡單的近似值，但它對較小的 x 仍然適用。

外部連結

• 特拉赫滕貝格快速心算系統維基百科詞條