微流體/毛細管效應

毛細管效應在微觀尺度上非常重要（參見上一章[Physics_at_smaller_scales]）。

它們出現在液體與另一種物質液體、氣體或固體之間的介面。

這些介面產生表面張力，它支配著該介面的動力學。

建立新的介面需要功

$E=\sigma \,A,$

其中 $\sigma$ 是表面張力（以 N/m 為單位），而 $A$ 是介面的面積。對於 20°C 的水/空氣介面，表面張力的值為 $\scriptstyle \sigma =73\times 10^{-3}$N/m。

這種表面張力會導致一個常見的現象：液滴傾向於變成球形，以最大程度地減少其表面積。

起源：內部粘附能

分兩步建立新的介面

由於範德華力，液體分子會受到相鄰分子的吸引，從而產生液體對自身的粘附能。

兩種互不相溶液體（標記為 1 和 2）之間的表面張力值可以透過將建立新的介面分成步驟來理解

• 步驟 1：分離每種液體內部的自由表面

這需要

$\Delta E=\gamma _{11}{\frac {A}{2}}$ 的能量在液體 1 中，其中 $\gamma _{11}$ 是液體對自身的粘附能。

這種液體內部粘附的來源是範德華吸引力。我們在這裡只切斷了一半的最終表面。在另一個液體中切割相同的表面需要

$\Delta E=\gamma _{22}{\frac {A}{2}}$ 的能量在液體 2 中。

• 步驟 2：組裝自由表面

扁平化自由表面會產生一個新的表面 $2\times A/2=A$。它們的組裝會產生一個功

$\displaystyle \Delta E=-\gamma _{12}A,$

其中 $\gamma _{12}$ 是液體 1 在液體 2 上的粘附能。

總的來說，我們得到一個總功 $\Delta E=\gamma _{11}{\frac {A}{2}}+\gamma _{22}{\frac {A}{2}}-\gamma _{12}A.$

因此，表面張力的值為

$\sigma ={\frac {1}{2}}\gamma _{11}+{\frac {1}{2}}\gamma _{22}-\gamma _{12}$

楊-拉普拉斯定律：表面張力如何產生壓力

球體

在機械平衡狀態下，球體半徑的微小變化 $dR$ 不會產生任何功（力保持平衡）。

$\delta W=-\Delta PdV+\sigma dA=0$

從這個公式我們可以得出，球體的內部壓力比外部壓力高

$\Delta P={\frac {2\sigma }{R}}$

舉個例子，我們計算一下水裡一個半徑為 1 微米的泡泡的毛細壓力：它大約是 1.4 個大氣壓！

這個公式可以推廣到任意曲面

$\Delta P=\sigma ({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}),$

其中 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 是主平面上的曲率半徑。

表面張力可以使圓柱形射流斷裂

Write a section about the capillary instability ??

固體表面的潤溼

表面上的液滴

在**接觸線**附近，三個介面相遇

• 液-氣介面，具有表面張力 $\sigma _{liquid-gas}$，之前記為 $\sigma$
• 固-液介面，具有表面張力 $\sigma _{solid-liquid}$
• 固-氣介面，具有表面張力 $\sigma _{solid-gas}$

力的平衡，是力的向量和為零。在水平軸上，它提供了接觸線處的**楊-杜普雷關係**

$\sigma _{solid-liquid}+\sigma \cos \theta =\sigma _{solid-gas},$

這裡我們引入了 **接觸角** $\theta$。沿著垂直軸，我們有

$\sigma \sin \theta =N,$

$N$ 是固體表面的反作用力。這清楚地表明液滴正在拉動表面。這種效應可以在將液滴沉積在新鮮油漆上時觀察到：接觸線會拉動一個邊緣，該邊緣會保留下來。

接觸線僅在以下情況下存在

$-1<\cos \theta ={\frac {\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid}}{\sigma }}<1$

因此有三種情況

液滴的不同潤溼狀態

完全潤溼

液體擴散並形成覆蓋表面的薄膜。當 $(\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid})/{\sigma }>1$ 時，則 $\sigma _{solid-gas}>\sigma _{solid-liquid}+\sigma$，保持裸露的固體需要大量的能量。

部分潤溼

接觸線的存在條件得到滿足，$-1<(\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid})/{\sigma }<1$。可以區分兩種情況

• 親水錶面：$0<\theta <90^{\circ }$
• 疏水錶面：$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$

不潤溼

液滴呈珠狀，並呈現完美的球形。它發生在表面，使得 $(\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid})/{\sigma }<-1$ 時，則 $\sigma _{solid-liquid}>\sigma _{solid-gas}+\sigma$，固體不喜歡被覆蓋。

這些表面可以在自然界中找到：觀察水滴落在荷葉上的情況。在顯微鏡下，這些表面覆蓋著微小的柱狀物。

在具有表面張力梯度的表面上驅動液滴

固液表面能的外部改變將提供力來移動小液滴。液滴方向可以使用表面能的梯度來印記。

熱潤溼

固液表面能隨溫度升高而增加。

${\frac {d\sigma _{solid-liquid}}{dT}}>0$

如果加熱非常區域性，則液滴的較熱側在表面能方面將變得更加昂貴。液滴將傾向於透過移動到較冷側來最小化其表面能。

電潤溼

如果表面是電極，另一個電極與液滴接觸，則可以對液滴施加電壓。電壓差 $V$ 透過以下方式改變表面能

$\sigma _{solid-liquid}^{EW}=\sigma _{solid-liquid}-c{\frac {V^{2}}{2}},$

其中 $c$ 是表面電容。

如果液滴只有一側位於電極上，則液滴將朝向電極移動，因為那裡的表面能更低。

請注意，電極可以絕緣以防止液體的電解：該技術稱為介電電潤溼 (EWOD)。

在通道中驅動液滴或氣泡，作用於表面張力

即使液體完全潤溼固體，也可以移動夾在微通道中的液滴或氣泡。該方法是修改液氣表面張力（而不是固液表面張力）。

熱毛細管驅動

透過在一側加熱通道來進行熱毛細管驅動

加熱液體會降低其表面張力（這與固液表面張力相反）。

${\frac {d\sigma _{liquid-gas}}{dT}}<0$

一側比另一側更熱的細長液滴或氣泡將朝著更熱的地方移動以減少總能量。

電毛細管驅動

帶電液滴在充滿另一種流體的微通道中的吸引

如果液滴/氣泡在與電極接觸後在其表面帶電，則如果它處於電壓梯度下，它可以在之後移動。當電荷更靠近帶有相反電荷的電極時，液滴的電勢會降低。

表面活性劑

分子

表面活性劑是具有表面親和力的分子。它們改變表面張力，因此被稱為表面活性分子。通常它們是兩親分子。amphi- 是一個希臘字首，也出現在單詞 amphitheater 中，意思是雙重。事實上它們既有親水部分又有疏水部分。例如，肥皂分子具有羧基（親水頭）和長脂類（疏水鏈）。在低濃度下，它們都會在介面處，而在高濃度下，它們會傾向於形成膠束。

Draw a cartoon with surfactants at surface and in a micelle ??

對錶面張力的影響

與水相比，它們會降低表面張力。自由表面具有張力 $\sigma$=73 mN/m。當表面完全被表面活性劑分子覆蓋，並呈現其脂類尾部到氣體時，表面張力會降低到一個平臺。此時表面張力接近脂類表面的張力，約為 30 mN/m。飽和發生在臨界膠束濃度 (CMC) 時，當表面充滿時，新增的分子會在液體中形成新的膠束。

洗滌劑

表面活性劑具有洗滌劑作用：它們覆蓋脂類液滴的表面，這有助於透過有利於在液滴和基底（布料！）之間形成水膜來促進分離。

穩定劑

Draw  a cartoon showing a liquid film in between two droplets/bubbles ??

表面活性劑可以防止乳液中分離液滴或泡沫中分離氣泡的薄液膜破裂。它們可以穩定肥皂泡的薄液膜！

微流控電路中的液滴和氣泡形成

噴墨印表機涉及形成微小的墨滴。微小的液滴或氣泡是很有前景的納升容器：它們沒有真正的壁，只包含非常少量的液體。可以建立它們，運輸它們，最後與其他液滴或氣泡合併。

第一個基本操作是液滴形成。

人類規模

從水龍頭滴下的液滴。

我們都見過水龍頭出口處形成的液滴。如果你慢慢開啟水龍頭，液滴體積會增加，直到它的重量大於毛細力。然後液滴就會脫離並落下。存在的力是

• 毛細力的大小為 $2\pi R_{tap}\sigma ,$ 其中 $R_{tap}$ 是水龍頭出口處的半徑
• 重力的大小為 $4\pi r_{droplet}^{3}/3,$ 其中 $r$ 是液滴的大小。

當液滴的半徑 $r_{droplet}$ 使得重力至少等於毛細力時，液滴就會脫離。我們得到

$r_{droplet}\sim \left({\frac {R_{tap}\sigma }{\rho g}}\right)^{1/3}$

減小水龍頭的半徑並不會迅速減小液滴的半徑，並且在小尺度上，液滴在水龍頭半徑的前面變得非常大。我們再次看到，在小尺度上，重力在毛細力面前變得無效。

應該考慮另一種不涉及重力的策略。

在T形連線處輔助形成

 (Drawing)

可以使用流體動力學，即粘性力來主動實現形成。

當流體A從一個垂直的支路進入主通道時，如果流體B在流動，這種流體的液滴可以被分離。大小由以下兩者之間的平衡決定：

• 形成半徑為 $R$ 的液滴所需的毛細壓力，其大小為 $\sigma /R$
• 流體B在寬度為 $h$ 的通道中流動的粘性應力，其大小為 $\mu \nabla v\sim \mu U/h$

因此，相應的液滴半徑為

$R\sim {\frac {\sigma }{\mu U_{0}}}h$

透過流體動力學聚焦輔助形成

(Drawing)

另一種幾何形狀有助於產生非常校準的液滴尺寸：要斷裂的流體A透過尺寸為 $d$ 的小孔被流體B的流束聚焦。兩種流體不會同時透過小孔（只有在非常大的速度下才會出現這種情況）。當流體的流速被施加時，斷裂涉及兩個步驟

• 阻塞：當流體A在小孔中時，它會對流體B形成一個塞子
• 擠壓：流體B中會積聚壓力，並夾住流體A，直到破裂，釋放一個液滴

最後一步需要一個特徵時間 $\tau \sim d^{3}/Q_{B}$，其中 $Q_{B}$ 是流體B的流速。在此時間內膨脹的流體A的體積決定了液滴的體積

$V\sim \tau Q_{A}\sim {\frac {Q_{A}}{Q_{B}}}d^{3}$

由於流動是層流（雷諾數小），因此它具有很高的可重複性，並且時鐘般的機制產生了非常準確的尺寸。

毛細管不穩定性輔助

這種方法包括形成圓柱形射流。它在高度很小的平面微通道中並不真正可行，但可以在噴墨印表機中使用。