微流體/流體動力學方程

流體的運動可以透過應用力學的基本定律來描述，該定律被稱為牛頓第二定律，但不是作用於一個點粒子，而是作用於一個流體。

流體微元

流體微元的適用範圍

流體微元是指一個體積，它足夠大以包含平滑的分子變化，但與系統大小相比卻很小。它具有介觀性質，介於微觀（分子）和宏觀描述之間。可以使用連續介質方法。

在液體中，流體微元的大小可以大於分子，小於微米通道。

在氣體中，平均自由程$\lambda$可能不小於微系統尺寸，需要一種特定的方法。

連續介質方法允許將以下內容定義為空間位置$\mathbf {r}$和時間$t$的函式

• $\rho (\mathbf {r} ,t)$，密度（單位 kg/m^3）
• $\mathbf {u} (\mathbf {r} ,t)$，速度（單位 m/s）

質量守恆

它寫成

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

對於不可壓縮流體（液體幾乎是這種情況，氣體在速度遠小於聲速的情況下也是如此），$\rho =\mathrm {cst}$，質量守恆意味著一個特定的無散度的流場，$\scriptstyle div(\mathbf {u} )=0$.

流體內的力

帶有外向法線的體積元

流體中存在兩種型別的力

• 各向同性法向力：壓力。它們提供了一個分量

$d\mathbf {f} =-p\,\mathbf {n} \,dS$作用在一個小的表面元素$dS$上，$\mathbf {n}$是體積元的外向法線。

• 剪下力：由於內部摩擦，它們提供了一個分量

$d\mathbf {f} =\mathbf {\tau } \,.\,\mathbf {n} \,dS$，其中$\mathbf {\tau }$是剪下應力張量。

對於牛頓流體，剪下應力張量分量由下式給出

$\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$

其中，$\mu$ 表示粘度。

	粘度 $\mu$ (Pa.s 或 kg/m·s) 在 20°C 時
空氣	$\scriptstyle 1.8\times 10^{-5}$
水	$\scriptstyle 1\times 10^{-3}$
橄欖油	$0.1$
甘油	$0.85$

納維-斯托克斯方程

對於牛頓流體，納維-斯托克斯方程可以寫成：

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {f}$

等式左側第二項來自於流體的慣性。它是一個非線性項，產生歷史依賴效應，在人類尺度或更大尺度上非常明顯。

• 漩渦、龍捲風
• 湍流
• 推進力

然而，在微觀尺度上，慣性被粘性效應（等式右側第二項）所抑制，而粘性效應是占主導地位的。雷諾數 提供了慣性力與粘性力之比的估計：如果流體的典型速度為 $u$，典型尺寸為 $l$

$R\!e={\frac {\rho ul}{\mu }}$.

在微觀尺度上，$R\!e\ll 1$，第二項 $\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$ 可以忽略，納維-斯托克斯方程簡化為斯托克斯方程。該方程是線性的，更容易求解。

$\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {f}$

這些方程的速度場解在施加的應力中是線性的，這意味著

• 該解是唯一的（而完整的 Navier-Stokes 方程會導致湍流和不穩定性）
• 當力的方向反轉時，解也反轉：在小尺度上不可能建立流體“二極體”

還可以證明，該解使總耗散功率最小化。

邊界條件

當給出流體表面的邊界條件時，可以求解運動方程。

對於通常的液體

存在無滑移邊界條件，$\mathbf {u} =\mathbf {0}$在表面上

對於氣體，以及某些非潤溼液體

對於氣體，克努森數將平均自由程與流動的典型長度尺度進行比較。

$Kn={\frac {\lambda }{l}}$

對於 $Kn<0.003$，連續介質方法仍然有效，介面處無滑移。對於 $Kn>0.01$，需要分子方法。對於中間數 $0.003<Kn<0.01$，Navier-Stokes 仍然成立，但在固體表面存在滑移，由 Navier 長度 $L_{s}$定義，使得流體的滑移速度為

$u_{s}=L_{s}{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}$

其中 $z$ 為到表面的距離。通常 $L_{s}\simeq \lambda$

對於液體，爭論仍在繼續...

參考文獻

• Etienne Guyon, Jean-Pierre Hulin, Luc Petit, Catalin Mitescu (2001). Physical Hydrodynamics. Oxford University Press. ISBN 10- 0198517459 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Stéphane Colin (2004). Microfluidique. Hermès science. p. 54. ISBN 10- 2746208156 .