微流體/水力阻力和容量

我們在這裡介紹一些簡單的工具來計算複雜通道網路中的流動，只需要知道施加的壓力。

水動力阻力

通道中的流速 $Q$ 與施加的壓降成正比 $\Delta P$ 。這可以總結為

\Delta P=R_{h}Q,

其中 $R_{h}$ 為水動力阻力。該表示式形式上類似於電壓差和電流之間的電動力學定律 $U=RI$ .

水力阻力的表示式為

圓形截面通道（總長度 $L$ ，半徑 $R$ )

R_{h}={\frac {8\mu L}{\pi R^{4}}}

矩形截面（ $\mu$ 是流體粘度，寬度 $w$ 和高度 $h$ ，表示式在 $h<w$ 時有效）^[1]

R_{h}\approx {\frac {12\mu L}{wh^{3}(1-0.630h/w)}}

在通道網路中，可以計算等效電阻（如在電動力學中）

兩個串聯通道的電阻為 $R_{h}=R_{h1}+R_{h2}$ ，
兩個並聯的通道具有 $1/R_{h}=1/R_{h1}+1/R_{h2}.$ 的阻力。

這些定律為複雜網路的設計提供了有用的工具。實際上，基爾霍夫電路定律適用，並進行了修改。

電路節點上的流量之和為零
迴路上的壓力差之和為零

流體動力電容

通道中的流體體積可能會發生變化，僅僅是因為壓力的變化：這可能是由於流體可壓縮性或通道彈性造成的。這種行為可以用以下公式總結

Q=C_{h}{\frac {d\Delta P}{dt}}

其中 $C_{h}$ 是流體動力電容。它是電動力學定律 $I=C\,dU/dt$ 的微流體模擬。

容器中的可壓縮流體

壓力增加會壓縮容器中的流體。可壓縮性由以下公式測量

K_{fluid}=-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial P}}.

對於水，其值為 $K=4.6\times 10^{-5}/bar$ ，通常可以忽略，因為壓力通常小於 1 巴。對於空氣，其值為 $K=1/P=1/bar$ ，如果壓力達到 1 巴，則相當可觀。

由於流體壓縮 $d\Delta P/dt$ ，流入體積為 $V$ 的管道的流量為

Q=-{\frac {dV}{dt}}=V\left(-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial P}}\right){\frac {d\Delta P}{dt}}=K_{fluid}V{\frac {d\Delta P}{dt}}

因此，流體動力電容為

C_{h}=K_{fluid}V

彈性管

我們將管道的膨脹性定義為

K_{tube}={\frac {1}{V_{tube}}}{\frac {\partial V_{tube}}{\partial P}}

它有一個正號，因為管子的體積隨著壓力的增加而增加。

管道的膨脹率大約是楊氏模量的倒數 $K\simeq 1/E.$ 下表給出了不同材料的膨脹率數量級

	$K_{tube}$
鋼	$\scriptstyle 0.5\times 10^{-6}$ /巴
塑膠	$0.01$ /巴
橡膠	$0.1$ /巴

這個值可以這樣解釋：如果壓力增加 1 巴，則相對體積增加 $K_{tube}$

假設管內壓力均勻（在長管中並不如此，因為壓力會大幅下降），我們發現進入管道的流量為

Q={\frac {dV_{tube}}{dt}}=K_{tube}V{\frac {\Delta P}{dt}}

因此，流體動力電容為

C_{h}=K_{tube}V.

具有顯著壓降的彈性長管建模

我們考慮一個長度為 $L$ 的管道，在該管道上施加壓差 $\Delta P$ 。在管道中，壓力沿管道座標 $x$ 降低為 $P(x)=P_{0}+(1-x/L)\Delta P$ 。因此，膨脹不均勻：在入口附近較大。管道體積的增加（與壓力 $P_{0}$ 下的靜止狀態相比）為

\Delta V=\int _{0}^{L}\left(1-{\frac {x}{L}}\right)\Delta P\;K_{tube}{\frac {dx}{L}}V_{tube}={\frac {\Delta P}{2}}K_{tube}V.

我們已經集成了小體積的膨脹 $dx/L\times V_{tube}$ 。

我們得到膨脹引起的流量為

Q={\frac {d\Delta V}{dt}}=C_{tube}{\frac {d\Delta P/2}{dt}}

也就是說，只有壓力差的一半載入了體積電容。電容放置在通道的中間，那裡超壓為一半，見圖。

應用：微通道中的注射器注射

注射器可以看作是直徑為 $R$ ，體積為 $V$ 的管子，而圓柱形微通道的直徑為 $r\ll R$ ，體積為 $v\ll V$ ，長度為 $l$ 。微通道的阻力 $R_{v}=8\mu l/\pi r^{4}$ 遠大於注射器的阻力： $R_{v}\gg R_{V}$ 。但是注射器的電容通常大得多： $C_{V}\gg C_{v}$ ，這是由於壁的表面積很大（如果壁是彈性的），以及由於注射器的體積大得多（如果液體是可壓縮的）。