微流體/混合

將溶質中的分子混合是生物分析或化學反應中至關重要的操作。我們將在本章中看到微流體的一個特性：混合時間很長。

液體中擴散的起源：布朗運動

在液體中，所有分子由於溫度而處於激發狀態。因此，嵌入液體中的大分子會受到周圍分子持續的水衝擊。這些衝擊是隨機的，併產生隨機方向的步進運動。

為了理解這種隨機運動的影響，我們考慮一個一維模型（沿一個軸），其中隨機步進具有有限大小$\ell$，並且以週期$\Delta t$定期發生。

第 i 個隨機步進是$\ell _{i}=\pm \ell$，正負號出現的機率相等，因此步進的平均值為$\langle \ell _{i}\rangle =0$.

N 步後的位置為

$X=\sum _{i}^{N}\ell _{i}$

平均值為

$\langle X\rangle =\sum _{i}^{N}\langle \ell _{i}\rangle =0$

這意味著平均而言，粒子在相同的位置附近。但是方差為

$\langle X^{2}\rangle =\langle (\sum _{i}^{N}\ell _{i})^{2}\rangle =\langle \sum _{i}^{N}(\ell _{i})^{2}+2\sum _{i<j}\ell _{i}\ell _{j}\rangle =N\ell ^{2}$

因為$\langle \ell _{i}^{2}\rangle =\ell ^{2}$，並且$\langle \ell _{i}\ell _{j}\rangle =\langle \ell _{i}\rangle \langle \ell _{j}\rangle =0$，對於不相關的事件。

回顧一下，步數與總經過時間的關係為 $N=t/\Delta t$，我們有 $\langle X^{2}\rangle =Dt$，其中 $D$ 是擴散係數，其值在這裡為 $D=\ell ^{2}/\Delta t$。

因此，一個分子探索的標準偏差距離為 $\sigma =\langle X^{2}\rangle ^{1/2}\sim (Dt)^{1/2}$。

類似地，一組分子（例如染料斑點）的擴散方式類似於 $\sigma \sim (Dt)^{1/2}$

擴散係數

在液體中，半徑為 $R$ 的顆粒的擴散係數由斯托克斯-愛因斯坦公式給出。

$D={\frac {kT}{6\pi \mu R}}$

該公式的證明來自具有兩個主要物理成分的粒子運動解：由 $m\langle u^{2}\rangle /2=kT/2$ 給出的波動速度，以及值為 $F=6\pi \mu Ru$ 的摩擦力。

因此，小分子擴散更快

Table with values??

許多分子以濃度 $C(\mathbf {r} ,t)$ 為特徵，濃度是每單位體積的數目。

微系統中的擴散很慢

兩個共流運動

兩股以相同速度流動的流體在擴散區相互混合，擴散區會隨著時間推移不斷增大。

混合區會隨著時間推移而增長。

$\delta \sim {\sqrt {Dt}}$

當混合區達到通道寬度時 ($\delta =w$)，通道將完全混合。此時流體移動的距離為 $Z=Ut=Uw^{2}/D$，經過的時間為 $t=w^{2}/D$。

完全混合兩種流體所需的通道寬度數量定義了佩克萊數 $Pe$ ${\frac {Z}{w}}={\frac {Uw}{D}}\equiv Pe$，反映了對流和擴散比率的重要性。

例如，在一個 100 微米寬的通道中，以 100 微米每秒的速度流動的蛋白質，其佩克萊數 Pe=250：需要非常長的通道才能混合這些流體！

利用混沌進行主動混合。

“錯列人字形”微混合器。

溝槽通道促進螺旋流動。顯示了兩個橫截面，展示了溝槽引起的流體交替方向。

螺旋形溝槽可以在系統中誘發流體滾動。交替的流體方向促進流體元素的拉伸和摺疊，進而導致混沌混合。就像在麵包師變換中一樣，流體層的典型厚度隨時間呈指數下降。

$w_{eff}=w_{0}/2^{N}$,

其中 $N$ 為迴圈次數。

參考：Stroock, Dertinger, Ajdari 等人，Science 295, 647 (2002)

交叉微混合器。

交叉微混合器透過交替的二次流建立混沌混合。

這種微混合器非常高效，但需要驅動外部交替流。

參考：F. Okkels 和 P. Tabeling，Physical Review Letters 92, 038301 (2004)