微流體/小尺度流體物理學

流體中的微觀尺度

• 液體中分子之間的距離

$d\sim 0.1\;\mathrm {nm}$

• 氣體中分子之間的距離

$d\sim (1/\rho )^{1/3}\sim (kT/P)^{1/3}\sim 3\;\mathrm {nm}$

• 氣體中碰撞之間的平均自由程，環境壓力下的空氣

$\lambda =kT/{\sqrt {2}}\pi \delta ^{2}P\simeq 61\;\mathrm {nm}$, 其中 $\pi \delta ^{2}$ 是有效碰撞截面。

液體中感興趣的物體的大小，例如生物元素

• 蛋白質，膜脂類分子：1 奈米
• 病毒：10 奈米
• 細胞：1-10 微米

力的等級制度

• 物體的大小：$l^{1}$
• 表面：$l^{2}$
• 體積和質量：$l^{3}$

當尺寸減小時，表面積與體積之比增加。

力的重要性，作為距離 $d$ 或物體尺寸 $l$ 的函式

分子之間的範德華力	$d^{-7}\,$
表面之間的範德華力	$d^{-3}\,$
毛細力	$l^{1}\,$
肌肉力量	$l^{2}\,$
重力	$l^{3}\,$
磁力	$l^{3}\,$
介電泳力	$l^{3}\,$

當尺寸減小時，表格開頭的影響會越來越明顯。

自然界中力的等級制度的例子

昆蟲可以在水上行走

水黽利用表面張力行走

表面張力作用於腿部的周長

這些昆蟲的腿上出現了一個接觸線。腿部表面是疏水的，因此表面向下彎曲，從而產生向上的張力。

典型的腿部直徑為 l，我們可以估計力的強度

• 毛細管力按 $\sigma \pi l$ 的比例縮放，其中 $\sigma$ 是表面張力，一個單位長度的力，其值為 $\sigma =70.10^{-3}\mathrm {N/m}$
• 重量按 $\rho gl^{3}$ 的比例縮放

因此，重量在特徵長度尺度上與毛細管力相當

$l^{*}={\sqrt {\frac {\sigma }{\rho g}}}\simeq 3\,\mathrm {mm}$

在這個長度以下，毛細管力占主導地位。\\

更小但更強

你能舉起多少個和你一樣大小的人？

肌肉的結構在動物界是普遍存在的，具有相似的直徑為 $l_{0}$ 的纖維。每根纖維可以施加最大力 $f$。纖維的數量為 $\scriptstyle l^{2}/l_{0}^{2}$

• 因此，肌肉施加的肌肉力按以下比例縮放

$F\sim Pl^{2}\,$

其中 $\scriptstyle P=f/l_{0}^{2}$ 是纖維施加的最大應力。它是一個“自然”常數，與大小無關。它可以為人估算為 $\scriptstyle P\sim F/l^{2}=100\;\mathrm {N} /10\;\mathrm {cm} ^{2}\simeq 10^{4}\;\mathrm {N.m^{-2}}$，我們計算了肌肉施加的典型力除以其典型截面積。

• 重量按以下比例縮放

$W\sim \rho gl^{3}\,$

因此，您可以舉起的 人數為

$N={\frac {F}{W}}={\frac {P}{\rho gl}}={\frac {H}{l}}$

其中 $H\simeq 1\;\mathrm {m}$ 是一個與尺寸無關的常數。

人類（l~1m）能舉起1個人，小螞蟻（l~1mm）能舉起1000個人！

注意，這種力量是由一種特殊的螞蟻用來跳躍的。這些螞蟻用相當於自身重量300倍的力量撞擊地面，並將自己彈射到10釐米高的地方。

微流體中的無量綱數

雷諾數

$Re={\frac {\rho UR}{\mu }}$

其中 $\rho$ 是密度，U 是速度，R 是通道尺寸，$\mu$ 是粘度

佩克萊特數:

定義了擴散傳遞與對流傳遞的比率。

$Pe={\frac {RU}{D}}$

其中 D 是擴散係數。

克努森數

定義了微觀尺度和奈米尺度之間的過渡。

$Kn={\frac {\lambda }{L}}$

其中 $\lambda$ 是粒子/分子的平均自由程，L 是系統中的距離。

邦德數

定義了重力或表面張力的主導作用。

$Bo={\frac {R^{2}}{\lambda ^{2}}}$

其中 R 是兩種流體之間的介面或通道尺寸的曲率半徑。

$\lambda ={\sqrt {\frac {\sigma }{\Delta \rho g}}}$

其中 $\sigma$ 是表面張力，$\Delta \rho$ 是密度的差異，g 是重力加速度。