現代物理學/引力紅移

紅移

用於解釋引力紅移的時空圖。

在引力場中較低層級發射的光，在傳播到較高層級時，其頻率會降低。這種現象被稱為引力紅移。

我們可以利用等效原理來理解這種現象。處於引力場中相當於處於一個加速的參考系中，因此瞭解多普勒效應在這種參考系中的工作原理，就能告訴我們它在引力場中的工作原理。

如上圖所示，我們從非加速或慣性參考系觀察光的發射和吸收過程。在這個參考系中，光的觀察者正在向右加速，由彎曲的紅色世界線表示，這相當於向左的引力。

光在 A 點以頻率 $\omega$ 被一個在這個瞬間靜止的源發射。在這個瞬間，觀察者在這個參考系中也處於靜止狀態。然而，當光到達觀察者時，他們已經有了向右的速度，這意味著觀察者測量出光的多普勒頻移頻率為 $\omega '$。由於觀察者正遠離光源，因此 $\omega '<\omega$，如上圖所示。

相對論多普勒頻移由下式給出：

${\frac {\omega '}{\omega }}={\sqrt {\frac {1-U/c}{1+U/c}}},$

因此我們需要計算 U/c。觀察者在 B 點的同步線穿過原點，因此由線段 OB 給出。這條線的斜率為 U/c，其中 U 是觀察者在 B 點的速度。從圖中我們可以看到，這個斜率也由 X' /X 的比率給出。

將這些等式合併，用 L = √(X² - X′²) 代替 X，這是觀察者與原點之間的不變距離，並代入到之前的方程式中，得到我們的引力紅移公式：

${\begin{matrix}{\frac {\omega '}{\omega }}&=&{\sqrt {\frac {X-X'}{X+X'}}}&=&{\sqrt {\frac {(L^{2}+X'^{2})^{1/2}-X'}{(L^{2}+X'^{2})^{1/2}+X'}}}\\&=&{\frac {(L^{2}+X'^{2})^{1/2}-X'}{L}}&=&{\frac {X-X'}{L}}\end{matrix}}$

如果 X′ = 0，則沒有紅移，因為光源與觀察者共址。另一方面，如果光源位於原點，則 X′=X，多普勒頻移頻率為零。此外，光永遠不會到達觀察者，因為世界線與穿過原點的光世界線漸近。如果光源在引力場中比觀察者處於更高層級，使得 X′ < 0，則頻率會移到更高的值，即變為藍移。

為了觀察這種多普勒頻移如何與重力強度 g 和光源與觀察者之間距離 h 相關聯，首先注意：

$L={\frac {c^{2}}{g}}\qquad X-X'=L-h$

進行這些替換得到：

${\frac {\omega '}{\omega }}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}\qquad (1)$

所以紅移與重力成正比。

由於這種多普勒頻移不依賴於波的型別，我們可以得出結論，它實際上是由時間膨脹引起的，就像由於相對運動引起的多普勒頻移一樣。

也就是說，重力減慢了時間。

能量和頻率

在公式 1 中，gh 是重力勢能的變化，因此頻率的變化與勢能的變化成正比，這表明可能與能量守恆有關。

但是，由於我們還沒有確定頻率和能量之間的任何關係，我們不能簡單地應用能量守恆論證。相反，我們可以反向論證，找出能量守恆時能量-頻率關係必須是什麼。

假設我們有兩個相同的系統，它們都靜止在一個均勻的重力場 g 中，初始能量為 E，並被垂直距離 h 隔開。

該系統具有質量 E/c²，因此它具有勢能，因此兩個系統的總能量最初為

$E_{i}=2E-{\frac {gh}{c^{2}}}E$

其中第二項是由於較低系統的勢能較低。

較低的系統發射一束波，頻率為 ω，能量為 E(ω)。當這束波到達較高的系統時，這些波已經紅移到頻率 ω'，能量為 E(ω')。這種能量被較高的系統吸收。

現在總能量為

$E_{f}=E-E(\omega )+E+E(\omega ')-\left(E-E(\omega )\right){\frac {gh}{c^{2}}}$

由於我們要保持能量守恆，這兩個方程必須給出相同的結果。將它們等同起來，我們得到

$E(\omega ')=E(\omega )(1-{\frac {gh}{c^{2}}})$

將此與多普勒頻移進行比較，我們看到

${\frac {E(\omega ')}{E(\omega )}}={\frac {\omega '}{\omega }}$

這隻有在 E(ω) 與 ω 成正比時才成立

即，能量守恆意味著 能量與頻率成正比，這是量子理論的公理之一。

我們同樣可以從量子結果開始，證明重力紅移必須存在。任何一個理論都需要另一個理論才能保持一致。

由於能量和頻率都是四維向量的時間分量，它們成正比意味著四維向量本身及其空間分量也成正比。因此，對於波來說，動量與 k 成正比。

還要記住，我們之前在研究哈密頓方程時看到，如果能量與頻率成正比，動量與波數成正比，那麼在幾何光學極限內，經典力學將等同於各向異性波理論。這種比例關係不僅是能量守恆所必需的，它還可以使統一波和粒子的理論成為可能。

所有這些並沒有真正證明這種比例關係，需要實驗才能證明這一點，但它確實使它成為一個自然的假設，而且這種假設確實得到了實驗的證實。

由於所有這些原因，從現在開始，我們將假設能量和頻率以這種方式相關，比例常數為 $\hbar$

$(c\mathbf {p} ,E)=\hbar (c\mathbf {k} ,\omega )$

重力和曲率

重力紅移還意味著空間是彎曲的。我們可以透過考慮時空中的一個矩形來觀察這一點。

沒有重力，如果我們從某個點 A 出發，等待時間 t，然後以光速向右移動距離 h，我們就會到達與我們以光速移動距離 h 然後相對於 A 靜止等待時間 t 相同的位置 B。

有了重力，如果我們遵循第一條路徑，我們會上升距離 ct，然後等待時間 t。在第二條路徑上，我們首先等待時間 t，但這段時間被重力膨脹了。對於 B 處的觀察者來說，我們會先等待時間 t(1+gh/c²)，然後才開始移動，所以我們最終到達 B 的時間比第一條路徑要晚。

因此，有了重力，我們以何種順序新增距離向量就會產生影響。如果空間是平坦的，這種情況就不會發生，所以 空間一定是彎曲的。

為了描述它如何彎曲，我們需要廣義相對論的技術。

外部連結

• 龐德-雷布卡-斯奈德實驗