模算術/索菲·熱爾曼定理

索菲·熱爾曼定理

令$p$ 為素數。那麼，對於方程，

$x^{p}+y^{p}=z^{p}$

如果且僅如果存在素數 $q$，使得

1. 不存在兩個非零的 $p^{th}$ 次冪在模 $q$ 下相差 1；
2. $p$ 本身不是模 $q$ 下的 $p^{th}$ 次冪。

推論：費馬大定理的第一種情況（即 $p$ 不整除 $xyz$ 的情況）必須對所有素數 $p$ 成立，如果存在素數 $q$ 使得 (1) 和 (2) 成立。