膨脹球殼的遲滯引力勢中的運動物體/經典方法

經典方法

本華夏公益教科書假設在可見宇宙的後面存在著一個巨大的暗物質殼。這種物質相當冷，可以認為它處於熱平衡狀態。因此，該殼體發射的電磁輻射可以用普朗克輻射定律來表示。這種冷源發射的電磁輻射是不可見的，此外，由於快速膨脹發射殼體的相對速度以及該殼體質量的引力作用，輻射經歷了強烈的紅移。

兩個質量 $m$ 和 $M$ 之間的引力 $F$，距離為 $s$，由牛頓萬有引力定律給出，其中引力常數為 $G$

$F=G\,{\frac {m\cdot M}{s^{2}}}$

在一個思想實驗中，可以研究位於質量為 $M$ 的球殼內的質量 $m$ 的行為。艾薩克·牛頓（1643-1727，格里高利曆）在 1687 年描述的方法被稱為牛頓殼層定理。 ^{根據該定理，質量 $m$ 在質量為 $M$ 的均勻球形對稱殼體內不會受到任何淨引力。此外，這與質量 $m$ 在殼體內的位置以及它的速度無關。}

這種行為可以用以下考慮來解釋：假設質量$m$位於半徑為$r$，面密度為$\rho _{a}$的均勻球對稱殼中。那麼殼的面積$A$和質量$M$可以表示為

$A=4\pi \cdot r^{2}$

$M=\int \limits _{A}\mathrm {d} M=\int \limits _{A}\rho _{a}\cdot \mathrm {d} A=\rho _{a}\cdot 4\pi \cdot r^{2}$

關於引力作用在質量$m$上的等效性，它位於均勻球對稱殼中，具有兩個面積元素$\mathrm {d} A_{1}$和$\mathrm {d} A_{2}$。

如果我們取一個軸對稱雙錐體，其中兩個錐體的頂點位於質量$m$的位置，該質量位於均勻球對稱殼內，我們得到了旁邊圖中所示的情況。

對於兩個無限小的面積元素$\mathrm {d} A_{1}$和$\mathrm {d} A_{2}$，它們與質量$m$的距離分別為$s_{1}$和$s_{2}$，具有相同的無限小的角度元素$\mathrm {d} \alpha$

$\mathrm {d} A_{1}={\frac {\pi }{4}}\,s_{1}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

$\mathrm {d} A_{2}={\frac {\pi }{4}}\,s_{2}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

對於兩個面積元素的相應質量 $\mathrm {d} M_{1}$ 和 $\mathrm {d} M_{2}$

$\mathrm {d} M_{1}=\rho _{a}\cdot \mathrm {d} A_{1}=\rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{1}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

$\mathrm {d} M_{2}=\rho _{a}\cdot \mathrm {d} A_{2}=\rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{2}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

根據萬有引力定律，我們可以表示兩個面積元素的質量產生的兩個無窮小的引力 $\mathrm {d} F_{1}$ 和 $\mathrm {d} F_{2}$

$\mathrm {d} F_{1}=G\,{\frac {m\cdot \mathrm {d} M_{1}}{s_{1}^{2}}}=G\,{\frac {m\cdot \rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{1}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}}{s_{1}^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\,G\cdot m\cdot \rho _{a}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

$\mathrm {d} F_{2}=G\,{\frac {m\cdot \mathrm {d} M_{2}}{s_{2}^{2}}}=G\,{\frac {m\cdot \rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{2}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}}{s_{2}^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\,G\cdot m\cdot \rho _{a}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

很明顯，這兩個力的值相同，並且由於它們必須精確地指向相反的方向，因此它們加起來為零。換句話說：球殼內的質量根本不會受到任何淨重力。

值得注意的是，這種經典方法假設 **引力波的傳播速度是無限的**，這適用於靜態情況，但不適用於動態情況以及巨大的系統。