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史瓦西半徑 r S {\displaystyle r_{S}} z {\displaystyle z} r {\displaystyle r} 任何質量 M {\displaystyle M} r S {\displaystyle r_{S}}
r S = 2 G M c 2 {\displaystyle r_{S}={\frac {2\,G\,M}{c^{2}}}} 除了質量之外，史瓦西半徑只取決於兩個自然常數
引力常數: G = 6.67 ⋅ 10 − 11 m 3 kg s 2 {\displaystyle G=6.67\cdot 10^{-11}{\frac {{\text{m}}^{3}}{{\text{kg}}\,{\text{s}}^{2}}}}
光速: c = 299792458 m s {\displaystyle c=299792458{\frac {\text{m}}{\text{s}}}} 發射到史瓦西球體相反方向的，距離球體中心 r {\displaystyle r}
z = 1 1 − 2 G M r c 2 − 1 = 1 1 − r S r − 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2\,G\,M}{r\,c^{2}}}}}}-1={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {r_{S}}{r}}}}}-1} 像 JADES.GS.z14-0 星系這樣的非常遙遠的天體的紅移值大於 14，遠大於預期。這樣的星系的可能的高速不足以產生如此高的值。這個星系的距離為 135 億光年，其年齡被認為是大爆炸後 2.9 億年。
宇宙微波背景甚至具有 1089 的紅移值，這非常高。它與大爆炸後約 38 萬年出現的第一個氫原子有關。
質量為 m {\displaystyle m} λ M {\displaystyle \lambda _{M}} m {\displaystyle m} M e f f {\displaystyle M_{eff}} 然而，引力紅移不僅可以在球體外部發生，也可以在空心球形帽內發生。為了估計其引力紅移，可以針對帽內任何點對這種帽的有效質量 M e f f {\displaystyle M_{eff}}
對於運動非常快的物體，我們可以假設它們只感受到它們前面的質量元素的延遲引力勢，因為向後的勢被延遲得更多，因此對淨引力的貢獻很小。在下一節中，只考慮殼帽的弧線。垂直於運動方向的萬有引力非常小，可以忽略不計。
這在第一近似中也適用於運動非常快的質量 m {\displaystyle m} m {\displaystyle m} d {\displaystyle d} 2 R − d {\displaystyle 2\,R-d} R {\displaystyle R} "延遲引力勢" ）。
F r i g h t ∝ 1 d 2 {\displaystyle F_{right}\propto {\frac {1}{d^{2}}}} F l e f t ∝ 1 ( 2 R − d ) 2 {\displaystyle F_{left}\propto {\frac {1}{(2\,R-d)^{2}}}} 如果我們假設距離是半徑的一部分
d = R n {\displaystyle d={\frac {R}{n}}} 那麼兩個力的比率具有以下關係
F r i g h t F l e f t = ( 2 R − R n R n ) 2 = ( 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {F_{right}}{F_{left}}}=\left({\frac {2\,R-{\frac {R}{n}}}{\frac {R}{n}}}\right)^{2}=(2\,n-1)^{2}} 觀察到的物體距離的延遲萬有引力之比與相應的紅移 這意味著，如果距離 d {\displaystyle d} R {\displaystyle R}
在左側的圖表中，兩個力的比率相對於在相應距離處觀察到的紅移繪製。遠距離物體的紅移高值似乎受引力紅移支配，而較短距離的紅移則受多普勒效應支配。
圖示用於積分外部殼層的有效質量 M e f f {\displaystyle M_{eff}} m {\displaystyle m} α {\displaystyle \alpha } − α R {\displaystyle -\alpha _{R}} α R {\displaystyle \alpha _{R}} R {\displaystyle R} d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} λ M {\displaystyle \lambda _{M}} 圖中右側的粗弧表示宇宙外殼的所有質量元素，其線性質量密度為 λ M {\displaystyle \lambda _{M}} m {\displaystyle m}
我們使用以下常數來估計從這些前提推匯出的值：
光年： 1 ly = 9.46 ⋅ 10 15 m {\displaystyle 1\,{\text{ly}}=9.46\cdot 10^{15}{\text{m}}}
哈勃長度： R = 1.36 ⋅ 10 26 m = 14 , 4 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle R=1.36\cdot 10^{26}{\text{m}}=14,4\cdot 10^{9}{\text{ly}}} 該弧的質量 M a r c {\displaystyle M_{arc}} − α R {\displaystyle -\alpha _{R}} + α R {\displaystyle +\alpha _{R}} λ M {\displaystyle \lambda _{M}}
α R = arcsin x R {\displaystyle \alpha _{R}=\arcsin {\frac {x}{R}}} M a r c = ∫ − α R + α R d M = ∫ − α R + α R R λ M d α = 2 ∫ 0 α R R λ M d α = 2 R λ M α R {\displaystyle M_{arc}=\int _{-\alpha _{R}}^{+\alpha _{R}}\mathrm {dM} =\int _{-\alpha _{R}}^{+\alpha _{R}}R\,\lambda _{M}\,\mathrm {d\alpha } =2\,\int _{0}^{\alpha _{R}}R\,\lambda _{M}\,\mathrm {d\alpha } =2\,R\,\lambda _{M}\,\alpha _{R}} 整個殼的質量 M S {\displaystyle M_{S}}
M S = ∫ − π + π d M = 2 π R λ M {\displaystyle M_{S}=\int _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {dM} =2\pi \,R\,\lambda _{M}} 勾股定理給出了圓的半弦的以下結果
x = 2 R d − d 2 {\displaystyle x={\sqrt {2\,R\,d-d^{2}}}} 對作用於質量 m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } ◯ {\displaystyle \bigcirc } R {\displaystyle R} h {\displaystyle h} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} s {\displaystyle s} m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } e {\displaystyle e} β {\displaystyle \beta } m {\displaystyle m} 如果質量 m {\displaystyle m} d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } α {\displaystyle \alpha }
α = arcsin h R {\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {h}{R}}} s ( α ) = 2 R 2 − 2 R d + d 2 − 2 R ( R − d ) c o s α ≥ d {\displaystyle s(\alpha )={\sqrt {2R^{2}-2\,R\,d+d^{2}-2\,R\,(R-d)\,cos\,\alpha }}\,\geq \,d} 從運動的質量 m 到弧上無窮小質量元素 d M {\displaystyle \mathrm {dM} } β {\displaystyle \beta }
β = arcsin ( R s sin α ) = arcsin h s {\displaystyle \beta =\arcsin \left({\frac {R}{s}}\sin \,\alpha \right)=\arcsin {\frac {h}{s}}} 使用輔助矢高 e {\displaystyle e}
e = R ( 1 − cos α ) {\displaystyle e=R\,\left(1-\cos \alpha \right)} cos β = d − e s {\displaystyle \cos \beta ={\frac {d-e}{s}}} 重力力的垂直分量是對稱的，因此它們的淨效應為零。透過將半圓積分並使用修正因子 cos β {\displaystyle \cos \beta } m {\displaystyle m} F h o r {\displaystyle F_{hor}}
F h o r = G m ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d M = G m R λ M ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α {\displaystyle F_{hor}=G\,m\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {dM} =G\,m\,R\,\lambda _{M}\,\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } } 對於作用在質量 m {\displaystyle m} F h o r {\displaystyle F_{hor}} m {\displaystyle m} M e f f {\displaystyle M_{eff}} m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } s {\displaystyle s}
F h o r = G m M e f f d 2 = G m R λ M ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α {\displaystyle F_{hor}=G\,m{\frac {M_{eff}}{d^{2}}}=G\,m\,R\,\lambda _{M}\,\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } } 最後我們得到作用於距離 d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} M e f f {\displaystyle M_{eff}}
M e f f = R λ M d 2 ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α = M S d 2 2 π ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α {\displaystyle M_{eff}=R\,\lambda _{M}\,d^{2}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } ={\frac {M_{S}\,d^{2}}{2\pi }}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } }
這個有效質量 M e f f {\displaystyle M_{eff}} 史瓦西距離 d S {\displaystyle d_{S}}
d S = 2 G M e f f c 2 {\displaystyle d_{S}={\frac {2\,G\,M_{eff}}{c^{2}}}} 由外殼距離 d {\displaystyle d} z {\displaystyle z}
z = 1 1 − 2 G M e f f d c 2 − 1 = 1 1 − d S d − 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2\,G\,M_{eff}}{d\,c^{2}}}}}}-1={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {d_{S}}{d}}}}}-1} 以上方程式可以解出每個質量為 M S {\displaystyle M_{S}} d S {\displaystyle d_{S}} d S = d {\displaystyle d_{S}=d} z ( d S ) = ∞ {\displaystyle z(d_{S})=\infty }
2 G M e f f ( M S , d S ) = d S c 2 {\displaystyle 2\,G\,M_{eff}(M_{S},d_{S})=d_{S}\,c^{2}} 因此，對於給定的 λ M {\displaystyle \lambda _{M}} d S {\displaystyle d_{S}}
d S ( λ M ) = 2 G c 2 M e f f ( M S , d S ) = 2 G R λ M d S 2 c 2 ∫ − π 2 + π 2 d S − R ( 1 − cos α ) ( 2 R 2 − 2 R d S + d S 2 − 2 R ( R − d S ) cos α ) 3 2 d α {\displaystyle d_{S}(\lambda _{M})={\frac {2\,G}{c^{2}}}M_{eff}(M_{S},d_{S})={\frac {2\,G\,R\,\lambda _{M}\,d_{S}^{2}}{c^{2}}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {d_{S}-R\,(1-\cos \alpha )}{{\left(2R^{2}-2\,R\,d_{S}+d_{S}^{2}-2\,R\,(R-d_{S})\,\cos \,\alpha \right)}^{\frac {3}{2}}}}\,\mathrm {d\alpha } } Schwarzschild 距離 d S {\displaystyle d_{S}} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} t H {\displaystyle t_{H}}
R = t H ⋅ c = 14.4 ⋅ 10 9 s ⋅ c = 14.4 ⋅ 10 9 ly = 1.36 ⋅ 10 26 m {\displaystyle R=t_{H}\cdot c=14.4\cdot 10^{9}\,{\text{s}}\cdot {c}=14.4\cdot 10^{9}\,{\text{ly}}=1.36\cdot 10^{26}\,{\text{m}}}
假設外殼膨脹，呈球形，由暗物質組成。外殼的有效質量僅考慮物體前面的幾何區域計算。這個假設是基於這樣一個事實，即來自黑殼相對邊界的延遲引力勢可以忽略不計。下圖顯示了在兩種不同的表示中，宇宙周圍看不見的宇宙質量與球殼內可見宇宙質量之比的關係，該比值以可見宇宙質量 q M {\displaystyle q_{M}}
宇宙可見邊界與宇宙看不見的外殼之間的 Schwarzschild 距離 d S {\displaystyle d_{S}}
可見宇宙的半徑 R v = R − d S {\displaystyle R_{v}=R-d_{S}}
宇宙的質量： M u n i v e r s e = 2.97 ⋅ 10 53 kg {\displaystyle M_{universe}=2.97\cdot 10^{53}{\text{kg}}} 不可見黑殼的總質量 M S {\displaystyle M_{S}} M u n i v e r s e {\displaystyle M_{universe}}
q M = M S M u n i v e r s e {\displaystyle q_{M}={\frac {M_{S}}{M_{universe}}}} → 檢視附錄：不同 λ M {\displaystyle \lambda _{M}} Java 程式 數值計算。
在這個模型中，不可見外黑殼的質量 M S {\displaystyle M_{S}}
非常值得注意的是，宇宙微波背景及其餘輝光模式的年齡約為 380,000 年（相應的史瓦西距離屬於一個殼質量 M S = 2.8769 ⋅ 10 53 kg = 0.96865 ⋅ M u n i v e r s e {\displaystyle M_{S}=2.8769\cdot 10^{53}\,{\text{kg}}=0.96865\cdot M_{universe}} d S = 377 ⋅ 10 3 ly = 3.56 ⋅ 10 21 m = 2.62 ⋅ 10 − 5 ⋅ R {\displaystyle d_{S}=377\cdot 10^{3}\,{\text{ly}}=3.56\cdot 10^{21}\,{\text{m}}=2.62\cdot 10^{-5}\cdot R}
已知最古老的星系 JADES.GS.z14-0 的年齡代表著最年輕的恆星開始發光的時期，也標誌著黑暗時代的結束。它的年齡約為 2.9 億年（對應史瓦西半徑屬於一個殼質量 M S = 2.92 ⋅ 10 53 kg = 0 , 984 ⋅ M u n i v e r s e {\displaystyle M_{S}=2.92\cdot 10^{53}\,{\text{kg}}=0,984\cdot M_{universe}} d S = 293 ⋅ 10 6 ly = 2.78 ⋅ 10 24 m = 0.020 ⋅ R {\displaystyle d_{S}=293\cdot 10^{6}\,{\text{ly}}=2.78\cdot 10^{24}\,{\text{m}}=0.020\cdot R}
在可見宇宙質量和黑洞殼質量相等的位置，也就是平衡點，史瓦西半徑約為 8.6 億光年（它屬於一個殼質量 M S = 2.97 ⋅ 10 53 kg = M u n i v e r s e {\displaystyle M_{S}=2.97\cdot 10^{53}\,{\text{kg}}=M_{universe}}
宇宙半徑 r {\displaystyle r} t = 0 {\displaystyle t=0} t U {\displaystyle t_{U}} c {\displaystyle c} r S , u n i v e r s e = t U ⋅ c = 2 G M u n i v e r s e c 2 ≈ 14283 Mpc ≈ 46 , 6 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{S,universe}=t_{U}\cdot c={\frac {2\,G\,M_{universe}}{c^{2}}}\approx 14283{\text{ Mpc}}\approx 46,6\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} r C M B ≈ 14000 Mpc ≈ 45 , 7 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{CMB}\approx 14000{\text{ Mpc}}\approx 45,7\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} t H {\displaystyle t_{H}} r H = t H ⋅ c ≈ 4480 Mpc ≈ 14 , 6 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{H}=t_{H}\cdot c\approx 4480{\text{ Mpc}}\approx 14,6\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} r V ≈ 4230 Mpc ≈ 13 , 8 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{V}\approx 4230{\text{ Mpc}}\approx 13,8\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} t o b s e r v e r = 2 ⋅ t H {\displaystyle t_{observer}=2\cdot t_{H}} t v = 2 ⋅ t H − r V c > t H {\displaystyle t_{v}=2\cdot t_{H}-{\frac {r_{V}}{c}}>t_{H}} 可見宇宙的史瓦西半徑 r S , u n i v e r s e {\displaystyle r_{S,universe}}
r S , u n i v e r s e = 2 G M u n i v e r s e c 2 ≈ 4.4 ⋅ 10 26 m ≈ 46.6 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{S,universe}={\frac {2\,G\,M_{universe}}{c^{2}}}\approx 4.4\cdot 10^{26}{\text{ m}}\approx 46.6\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} 這個值與今天宇宙暴脹時期結束時不可見粒子視界半徑非常吻合。問題是，這種巧合是偶然發生的，還是由於可見宇宙質量 M u n i v e r s e , v i s i b l e {\displaystyle M_{universe,visible}} G {\displaystyle G} t {\displaystyle t} M u n i v e r s e , v i s i b l e {\displaystyle M_{universe,visible}} [ 1]
G = c 3 M u n i v e r s e , v i s i b l e t {\displaystyle G={\frac {c^{3}}{M_{universe,visible}}}\,t} 根據愛德華·亞瑟·米爾恩，在這個模型中，宇宙常數 Λ {\displaystyle \Lambda }
Λ = 3 c 2 t 2 {\displaystyle \Lambda ={\frac {3}{c^{2}\,t^{2}}}} 如今，這個值大約為 Λ = 1.7 ⋅ 10 − 53 m − 2 {\displaystyle \Lambda =1.7\cdot 10^{-53}{\text{ m}}^{-2}}
如果宇宙的質量保持不變，那麼引力常數隨時間變化的關係將意味著引力常數以以下速率增長。
d G d t = c 3 M u n i v e r s e , v i s i b l e ≈ 9.1 ⋅ 10 − 29 m 3 kg s 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}={\frac {c^{3}}{M_{universe,visible}}}\approx 9.1\cdot 10^{-29}{\frac {{\text{m}}^{3}}{{\text{kg s}}^{3}}}} 結果，引力常數將以以下數量級發生變化，遠小於引力常數測量的不確定度，大約為 2.2 ⋅ 10 − 5 {\displaystyle 2.2\cdot 10^{-5}}
d G d t G ≈ 1.36 ⋅ 10 − 18 1 s ≈ 4.3 ⋅ 10 − 11 1 a {\displaystyle {\frac {\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}{G}}\approx 1.36\cdot 10^{-18}{\frac {1}{\text{s}}}\approx 4.3\cdot 10^{-11}{\frac {1}{\text{a}}}} 只有在50萬年後，相應的變化才會達到不確定度的數量級。
如果我們將米爾恩的引力常數表示式代入宇宙史瓦西半徑的公式，我們會得到
r S , u n i v e r s e = 2 c 3 M u n i v e r s e c 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e t {\displaystyle r_{S,universe}={\frac {2\,c^{3}\,M_{universe}}{c^{2}\,M_{universe,visible}}}\,t} 假設整個宇宙都是可見的，因此， M u n i v e r s e = M u n i v e r s e , v i s i b l e {\displaystyle M_{universe}=M_{universe,visible}}
r S , u n i v e r s e = 2 c t {\displaystyle r_{S,universe}=2\,c\,t} 值得注意的是，根據這些結果，以下估計適用於大約 8.58 億光年的史瓦西距離，其中黑殼質量與可見宇宙質量之比等於 1
M u n i v e r s e , v i s i b l e ≈ M u n i v e r s e , i n v i s i b l e = M S {\displaystyle M_{universe,visible}\approx M_{universe,invisible}=M_{S}} 這個史瓦西距離類似於粒子視界和宇宙微波背景 (CMB) 平面之間的差異，該差異由當今大多數宇宙學家青睞的 ΛCDM 模型確定
r S , u n i v e r s e − r C M B ≈ 0.9 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{S,universe}-r_{CMB}\approx 0.9\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} r H − r V ≈ 0.8 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{H}-r_{V}\approx 0.8\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} 因此
M u n i v e r s e , t o t a l = M u n i v e r s e , v i s i b l e + M u n i v e r s e , i n v i s i b l e ≈ 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e ≈ 2 M S {\displaystyle M_{universe,total}=M_{universe,visible}+M_{universe,invisible}\approx 2\,M_{universe,visible}\approx 2\,M_{S}} 這個假設得到了以下事實的支援：可見宇宙半徑內的普通物質的質量 r v i s i b l e , u n i v e r s e {\displaystyle r_{visible,universe}} ρ o r d i n a r y m a t t e r {\displaystyle \rho _{ordinary\,matter}} V v i s i b l e , u n i v e r s e {\displaystyle V_{visible,universe}} [ 2]
ρ o r d i n a r y m a t t e r = 4.08 ⋅ 10 − 28 kg m 3 {\displaystyle \rho _{ordinary\,matter}=4.08\cdot 10^{-28}{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}} r v i s i b l e , u n i v e r s e = 4.3 ⋅ 10 26 m {\displaystyle r_{visible,universe}=4.3\cdot 10^{26}{\text{ m}}} V v i s i b l e , u n i v e r s e = 4 3 π r v i s i b l e , u n i v e r s e 3 = 3.3 ⋅ 10 80 m 3 {\displaystyle V_{visible,universe}={\frac {4}{3}}\,\pi \,r_{visible,universe}^{3}=3.3\cdot 10^{80}{\text{ m}}^{3}} M o r d i n a r y m a t t e r = ρ o r d i n a r y m a t t e r ⋅ V v i s i b l e , u n i v e r s e = 1.4 ⋅ 10 53 kg ≈ 1 2 M u n i v e r s e = 1 2 2.97 ⋅ 10 53 kg ≈ 1.5 ⋅ 10 53 kg {\displaystyle M_{ordinary\,matter}=\rho _{ordinary\,matter}\cdot V_{visible,universe}=1.4\cdot 10^{53}{\text{ kg}}\approx {\frac {1}{2}}\,M_{universe}={\frac {1}{2}}\,2.97\cdot 10^{53}{\text{ kg}}\approx 1.5\cdot 10^{53}{\text{ kg}}} 然而，如果萬有引力常數使用宇宙的總質量 M u n i v e r s e , t o t a l {\displaystyle M_{universe,total}}
G = c 3 M u n i v e r s e , t o t a l t ≈ c 3 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e t {\displaystyle G={\frac {c^{3}}{M_{universe,total}}}\,t\approx {\frac {c^{3}}{2\,M_{universe,visible}}}\,t} r S , u n i v e r s e ≈ 2 c 3 M u n i v e r s e , v i s i b l e 2 c 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e t = c t {\displaystyle r_{S,universe}\approx {\frac {2\,c^{3}\,M_{universe,visible}}{2\,c^{2}\,M_{universe,visible}}}\,t=c\,t} 這個值與我們宇宙的視界半徑相同。在這種情況下，萬有引力常數的變化幅度僅在百萬年後才會達到不確定性的範圍。即使任何物質從宇宙可見部分流向不可見的外黑殼，導致宇宙可見部分質量減少，宇宙的總質量也不會改變或影響萬有引力常數。
以下內容適用於假設宇宙的史瓦西半徑僅由可見宇宙的普通物質質量決定的情況，而這僅佔宇宙總質量的一半。可見宇宙的史瓦西半徑，其質量為 M o r d i n a r y m a t t e r {\displaystyle M_{ordinary\,matter}} M S {\displaystyle M_{S}}
↑ Milne, Edward Arthur (1935). "World picture on the simple kinematic model - Comparison with local Newtonian gravitation and dynamics - §§412-418". Relativity, gravitation and world-structure . Oxford, Great Britain: Clarendon Press. pp. 291–294. ↑ Tatum, Eugene Terry (2015-06-01). "Could Our Universe have Features of a Giant Black Hole?" . Journal of Cosmology . 25 : 13063–13072. 
紅移 z 作為物體距宇宙中心距離的函式，在 Schwarzschild 極限內，對於大的紅移，它漸近地接近哈勃半徑。
在哈勃圓（虛線）內具有給定紅移 z 的圓，哈勃半徑為圓的半徑。
不可見宇宙的黑暗物質外黑殼（右），宇宙微波背景（CMB，暗紅色）起源殼以及遙遠星系（淺紅色）的示意圖。由於延遲引力力的作用，黑殼附近的物質加速向殼移動，並可能透過穿過史瓦西距離處的視界而消失到黑殼中。在暗物質轉化為“暗能量”的時代，史瓦西距離快速增加。
宇宙黑殼有效質量隨可見宇宙半徑減小和史瓦西距離增加以及黑殼（有效）質量增加的演化。
可見宇宙邊界與宇宙不可見外球之間的史瓦西距離作為黑殼質量以可見宇宙質量為單位的函式。史瓦西距離在附近比黑殼質量增長快得多。
可見宇宙半徑作為包圍它的不可見宇宙的球形黑殼質量以可見宇宙質量為單位的函式。可見宇宙的大小在附近的時間突然開始收縮。
