音樂理論/音樂物理學

西方音樂理論主要基於古希臘哲學家畢達哥拉斯的發現。

聲音的解剖

波

幾乎所有為西方音樂做出貢獻的樂器都是透過弦的振動或空氣柱的振動來產生聲音的。這兩者都會在空氣中形成有規律的、反覆的擾動，這些擾動到達我們的耳朵，並被大腦處理為聲音。這些反覆的擾動被稱為**波**，因為它們與水體的擾動相似。

所有波都有**頻率**，即空氣分子從壓縮到拉伸再到壓縮一次的頻率。頻率以**赫茲**（縮寫為**Hz**）來衡量，它是每秒發生的壓縮和拉伸次數。例如，大多數西方音樂調音的標準將**A₄**音調設定為精確的 440 Hz，並相對於該音調調音其他音符。波也有**振幅**，即空氣在每次重複中壓縮或拉伸的程度，或波聽起來有多響亮。

泛音

**基頻**是弦或空氣柱振動的基本頻率。最純粹的波型別是**正弦波**，因為它只包含基頻，不包含其他任何頻率。正弦波可以透過繪製函式 $f(x)=a\sin(h\pi x)$ 的影像來視覺化，其中 $a$ 是振幅， $h$ 是以赫茲為單位的頻率。圖形中的高點和低點代表空氣中的壓縮和拉伸。

然而，大多數樂器不會產生純粹的正弦波，因為弦和空氣柱不會傾向於只產生基頻。它們也傾向於產生稱為**泛音**或**諧波**的額外音調，它們的頻率是基頻的整數倍數；也就是說，它們的頻率是基頻的兩倍、三倍、四倍、五倍、六倍，等等。這些泛音共同構成了**泛音列**；包括基頻，它們構成了**諧波列**。一般來說，泛音越高，振幅呈指數級減小，但任何泛音都可以以任何振幅出現，這取決於弦、空氣柱、共鳴腔，以及其他因素；這就是不同樂器具有不同音色或聽起來不同的原因。事實上，透過使用不同振幅的泛音，可以重現任何聲音或波。

諧波列內的關係決定了哪些音程將聽起來**客觀上**協和或不協和。例如，幾乎所有文化都在他們的音樂中使用某種形式的八度音程，因為它是在基頻和第一泛音之間，或第一諧波（與基頻相同）和第二諧波之間的關係。也可以說這些頻率具有 2:1 的比例。許多文化也重視五度音程，因為它是在第二諧波和第三諧波之間的關係，或具有 3:2 的頻率比例。比例越簡單，音程就越協和。

因此，像二度、三度、六度和七度這樣的音程被認為是協和的

大二度是 9:8 的比例
小三度是 6:5 的比例
大三度是 5:4 的比例
小六度是 8:5 的比例
大六度是 5:3 的比例
小七度是 16:9 的比例
大七度是 15:8 的比例

像純一度、四度、五度和八度這樣的音程被認為幾乎是基礎協和音

純一度是 1:1 的比例
純四度是 4:3 的比例
純五度是 3:2 的比例
純八度是 2:1 的比例

大三和絃可以表示為三個諧波之間的關係，即三個音調之間 4:5:6 的比例。有了這個，甚至可以使用大三和絃中的關係來構建完整的自然大調音階。

調音

然而，我們聽的音樂實際上並沒有完全按照諧波列中的音程調音，原因是各種實際原因。

純律

假設一個世界，每個人都按照諧波列調音。這種做法被稱為**純律**，是所有事物“應該”調音的自然方式。

現在讓我們檢查十六世紀數學家吉安巴蒂斯塔·貝內代蒂的一段音樂的調音。

$% Benedetti's Puzzle \new PianoStaff << \new Staff \fixed c' {\bar".|:" \clef treble \time 4/4 << { g4 a2 g4 } \\ { d2 e2 } >> \bar":|."} \new Staff \fixed c {\clef bass \time 4/4 g2 c'2 } >>$

假設是 G 大調，我們可以從低音譜號中的第一個 G₃ 開始作為基頻，然後根據它調音其他音符。在比例方面，這個 G 與它本身的比例為 1:1。高音譜號中的上面的 D₄ 應該具有 3:2 的比例，因為它恰好是初始 G 的純五度。然後，上面的 G₄ 具有 2:1 的比例，因為它恰好是初始 G 的八度。

在下一拍中，高音譜號中的 A₄ 應該具有 9:4 的比例，因為它與前一個 D 恰好是 3:2 的五度，並且 ${\frac {3}{2}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {9}{4}}$ 。

在第三拍中，我們離開原始的 G 和 D，並移動到兩個新音符。由於這些音符與高音譜號中的一個懸掛 A 一起演奏，所以這些音符應該相對於該 A 調音，而不是相對於先前的 G 和 D。因此，這裡高音譜號中的 E₄ 是 9:4 的 A 的四度。 ${\frac {9}{4}}\div {\frac {4}{3}}={\frac {27}{16}}$ ，因此新的 E 應該為 27:16 的比例。低音譜號中的 C₄ 應該調音為該 C 的 5:4 大三度；由於 ${\frac {27}{16}}\div {\frac {5}{4}}={\frac {27}{20}}$ ，所以 C 應該調音為 27:20。

在最後的節拍中，G₄ 在高音譜號中再次出現。它應該調到比低音譜號中保持的 C 高出一個 3:2 的純五度音程。 ${\frac {27}{20}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {81}{40}}$ ，所以這個 G 現在調到 81:40。

如果我們重複這個樂句，起始的 G₃ 必須調到比最後的 G 低一個 2:1 的八度音程，這會導致最終的比率為 81:80，因為 ${\frac {81}{40}}\div {\frac {2}{1}}={\frac {81}{80}}$ 。當然，這比我們開始的 G 高一點。

$% Benedetti's Puzzle annotated \new PianoStaff << \new Staff \fixed c' {\bar".|:" \clef treble \time 4/4 << { g4^"2:1" a2^"9:4" g4^"81:40" } \\ { d2_"3:2" e2_"27:16" } >> \bar":|."} \new Staff \fixed c {\clef bass \time 4/4 g2_"1:1" c'2_"27:20" } >>$

純律之所以行不通的原因是，正如我們所見，它很快就變得難以駕馭。像這段音樂片段這樣的和絃進行會導致音高以非常小的音程漂移。在這種情況下，音高向上滑動了 81:80 的比率，稱為音程逗號。在前面提到的自然音階中，大二度音程和大六度音程之間的比率是差一個音程逗號的純五度音程。

不用說，隨著音樂變得越來越複雜，必須制定一種更易於處理、更實用的調音標準。