奈米技術/奈米系統建模

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薛定諤方程

薛定諤方程

$H(t)\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$

其中 $\mathrm {i}$ 是 虛數單位，$t$ 是時間，$\partial /\partial t$ 是關於 $t$ 的 偏導數，$\hbar$ 是 約化普朗克常數（普朗克常數除以 $2\pi$），$\psi (t)$ 是 波函式，而 $H\!\left(t\right)$ 是 哈密頓算符。

Hartree-Fock (HF) 或自洽場 (SCF)

在 計算物理學 和 化學 中，Hartree–Fock (HF) 方法是一種近似方法，用於確定 波函式 和 量子多體系統 在 穩態 下的能量。

Hartree-Fock 方法通常假設系統的精確 N 體波函式可以用單個 斯萊特行列式（當粒子為 費米子 時）或單個 永年式（當粒子為 玻色子 時）來近似，該行列式或永年式由 N 個 自旋軌道 組成。透過呼叫 變分法，可以推匯出 N 個自旋軌道的一組 N 個耦合方程。求解這些方程可以得到系統的 Hartree-Fock 波函式和能量。

特別是在較早的文獻中，Hartree-Fock 方法也被稱為自洽場方法（SCF）。在推匯出現在稱為 哈特里方程 的 薛定諤方程 的近似解時，哈特里 要求從電荷分佈計算出的最終場與假設的初始場“自洽”。因此，自洽是求解的必要條件。非線性 Hartree-Fock 方程的解也表現得好像每個粒子都受到所有其他粒子產生的平均場的影響（見下文的 福克算符），因此該術語得以延續。這些方程幾乎總是透過 迭代 方法求解，儘管 不動點迭代 演算法並不總是收斂的。^[1] 這種求解方案並非唯一可能，也不是 Hartree-Fock 方法的本質特徵。

Hartree-Fock 方法通常應用於求解原子、分子、奈米結構^[2] 和固體的 薛定諤方程，但也廣泛應用於 核物理。（見 Hartree-Fock-Bogoliubov 方法，瞭解其在 核結構 理論中的應用。）在 原子結構 理論中，計算可能針對具有許多激發能級的譜線，因此 Hartree-Fock 原子方法 假設波函式是一個具有明確 量子數 的單個 構型態 函式，並且能級不一定是最 基態。

對於原子和分子，Hartree-Fock 解是大多數更準確地描述多電子系統的方法的中心起點。

本文的其餘部分將重點介紹適用於分子的電子結構理論應用，原子是其特例。這裡的討論只針對限制性 Hartree-Fock 方法，其中原子或分子是閉殼系統，所有軌道（原子或分子）均為雙佔據。 開殼 系統，其中一些電子沒有配對，可以用兩種 Hartree-Fock 方法之一處理：

• w:限制性開殼 Hartree-Fock (ROHF)
• w:非限制性 Hartree-Fock (UHF)

歷史

Hartree-Fock 方法起源於 1920 年代末，緊隨 1926 年發現 薛定諤方程 之後。1927 年，D. R. 哈特里 引入了一種他稱為自洽場方法的程式，用於計算原子和離子的近似波函式和能量。哈特里受到 1920 年代早期一些早期的半經驗方法的啟發（由 E. 費斯、R. B. 林賽 和他自己），這些方法設定在玻爾的 舊量子理論 中。

在原子的 玻爾模型 中，具有 主量子數 n 的態的能量在原子單位中給出為 $E=-1/n^{2}$。從原子光譜觀察到，多電子原子的能級可以透過應用玻爾公式的修正版本來很好地描述。透過引入 量子虧損 d 作為經驗引數，一般原子的能級可以透過公式 $E=-1/(n+d)^{2}$ 很好地近似，也就是說，可以相當好地重現觀察到的 X 射線 區域中的躍遷能級（例如，參見 莫塞萊定律 中的經驗討論和推導）。量子虧損不為零的存在歸因於電子-電子排斥，而電子-電子排斥顯然不存在於孤立的氫原子中。這種排斥導致裸核電荷的區域性 遮蔽。這些早期的研究人員後來引入了其他包含額外經驗引數的勢，希望更好地重現實驗資料。

哈特里試圖摒棄經驗引數，從基本的物理原理（即 從頭算）求解多體時間無關薛定諤方程。他最初提出的求解方法被稱為哈特里方法。然而，哈特里的許多同時代人並不理解哈特里方法背後的物理推理：在許多人看來，它似乎包含經驗元素，並且它與求解多體薛定諤方程之間的聯絡尚不清楚。然而，在 1928 年，J. C. 斯萊特 和 J. A. 岡特獨立地證明，哈特里方法可以透過將 變分原理 應用於作為單粒子函式乘積的 猜測函式（試探波函式）來建立在更可靠的理論基礎之上。

1930 年，斯萊特和 V. A. 福克 獨立地指出，哈特里方法沒有尊重波函式的 反對稱 原理。哈特里方法使用的是 泡利不相容原理 的舊版本，禁止兩個電子處於相同的量子態。然而，後來證明，這在忽略 量子統計 方面從根本上是不完整的。

後來證明，斯萊特行列式，即由海森堡和狄拉克在 1926 年首次使用的單粒子軌道的 行列式，可以微不足道地滿足精確解的 反對稱 性質，因此是應用 變分原理 的合適 猜測函式。然後，可以將原始的哈特里方法視為透過忽略 交換 來對 Hartree-Fock 方法進行的近似。福克最初的方法嚴重依賴於 群論，對當時的物理學家來說過於抽象，難以理解和實施。1935 年，哈特里重新改進了這種方法，使其更適合於計算目的。

儘管 Hartree-Fock 方法在物理上更準確，但由於其計算量遠大於早期的 Hartree 方法和經驗模型，在 20 世紀 50 年代電子計算機出現之前很少被使用。最初，Hartree 方法和 Hartree-Fock 方法都只應用於原子，因為系統的球形對稱性使得可以大大簡化問題。這些近似方法通常與 w:中心場近似 一起使用（並且一直使用至今），以強加相同殼層中的電子具有相同的徑向部分，並將變分解限制為自旋本徵函式。即使如此，用手求解中等大小原子的 Hartree-Fock 方程也是一項艱鉅的任務；小分子所需的計算資源遠遠超出了 1950 年之前可用的範圍。

Hartree-Fock 演算法

Hartree-Fock 方法通常用於求解多電子原子或分子的時間無關薛定諤方程，如 w:玻恩-奧本海默近似 中所述。由於不存在多電子系統的已知解（氫原子 和雙原子氫陽離子是著名的單電子例外），因此該問題需要用數值方法求解。由於 Hartree-Fock 近似引入的非線性，這些方程透過非線性方法求解，例如 w:迭代，這也導致了“自洽場方法”的名稱。

近似

Hartree-Fock 方法在處理此任務時做了五個主要簡化。

• w:玻恩-奧本海默近似 被隱含地假設。完整的分子波函式實際上是所有原子核的座標以及電子的座標的函式。
• 通常，相對論 效應被完全忽略。動量算符 被假設為完全非相對論的。
• 變分解被假設為 w:有限個基函式的線性組合，這些基函式通常（但並非總是）被選為 w:正交的。有限的基集被假設為近似 完備 的。
• 每個 w:能量本徵函式 被假設可以用單個 w:斯萊特行列式 來描述，斯萊特行列式是單電子波函式（即軌道）的反對稱積。
• 平均場近似 隱含其中。與該假設偏差產生的效應稱為 w:電子關聯，對於自旋相反的電子完全被忽略，但對於自旋平行的電子則被考慮在內。 （電子關聯不應該與電子交換混淆，電子交換在 Hartree-Fock 方法中被完全考慮在內）。

對最後兩個近似的放鬆導致了許多所謂的 w:後 Hartree-Fock 方法。

高度簡化的演算法流程圖，展示了 Hartree-Fock 方法

軌道的變分最佳化

變分原理 指出，對於時間無關的哈密頓算符，任何試探波函式都將具有大於或等於對應於給定哈密頓算符的真實 w:基態 波函式的能量 w:期望值。因此，Hartree-Fock 能量是給定分子真實基態能量的上界。在 Hartree-Fock 方法的背景下，最佳的解是在 *Hartree-Fock 極限* 處；即，當基集接近 完備性 時，Hartree-Fock 能量的極限。（另一個是 *全 CI 極限*，其中 Hartree-Fock 理論中描述的最後兩個近似被完全取消。只有當這兩個極限都被達到時，才能獲得精確解，直到玻恩-奧本海默近似）。Hartree-Fock 能量是單個斯萊特行列式的最小能量。

Hartree-Fock 方法的起點是一組近似的單電子波函式，稱為 *w:自旋軌道*。對於 w:原子軌道 計算，這些通常是氫原子的軌道（只有一個電子，但具有適當的核電荷）。對於 w:分子軌道 或晶體計算，初始近似的單電子波函式通常是 w:原子軌道線性組合 (LCAO)。

上面的軌道只以平均的方式考慮了其他電子的存在。在 Hartree-Fock 方法中，其他電子的影響是在 w:平均場理論 的背景下考慮的。透過要求軌道使相應的斯萊特行列式的能量最小化來最佳化軌道。軌道上的變分條件導致了一個新的單電子算符，即 w:Fock 算符。在最小值處，佔據軌道是 Fock 算符的本徵解，透過它們本身之間的 w:酉變換 獲得。Fock 算符是一個有效的單電子哈密頓算符，它是兩個項的總和。第一個是每個電子的動能算符之和、核間排斥能以及核-電子 庫侖 吸引項之和。第二個是電子之間的庫侖排斥項，在平均場理論描述中；系統中每個電子的淨排斥能，它是透過將分子中所有其他電子視為負電荷的光滑分佈來計算的。這是 Hartree-Fock 方法中固有的主要簡化，它等效於上述列表中的第五個簡化。

由於 Fock 算符取決於用於構建相應 w:Fock 矩陣 的軌道，因此 Fock 算符的本徵函式反過來是新的軌道，這些軌道可以用來構建新的 Fock 算符。這樣，Hartree-Fock 軌道被迭代最佳化，直到總電子能量的變化低於預定義的閾值。這樣，就計算出了一組自洽的單電子軌道。然後，Hartree-Fock 電子波函式是由這些軌道構建的斯萊特行列式。遵循量子力學的基本假設，然後可以使用 Hartree-Fock 波函式在 Hartree-Fock 方法和所用近似的框架內計算任何所需的化學或物理性質。

數學公式

Fock 算符

主條目：w:Fock 矩陣

由於 w:電子分子哈密頓量 的電子-電子排斥項涉及兩個不同電子的座標，因此有必要以近似的方式重新表述它。在這個近似下（在 Hartree-Fock 演算法 中概述），除了核-核排斥項之外，精確哈密頓量的所有項都被重新表達為下面概述的單電子算符之和，用於閉殼原子或分子（每個空間軌道上有兩個電子）。 每個算符符號後面的“(1)”只是表明該算符本質上是 1-電子的。

${\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)={\hat {H}}^{\text{core}}(1)+\sum _{j=1}^{N/2}[2{\hat {J}}_{j}(1)-{\hat {K}}_{j}(1)]$

其中

${\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)$

是由軌道 $\phi _{j}$ 生成的單電子 Fock 算符，以及

${\hat {H}}^{\text{core}}(1)=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-\sum _{\alpha }{\frac {Z_{\alpha }}{r_{1\alpha }}}$

是單電子核心 哈密頓算符。同時

${\hat {J}}_{j}(1)$

是 庫侖算符，定義了由於第 j 個軌道中的兩個電子而產生的電子-電子排斥能。 最後

${\hat {K}}_{j}(1)$

是 交換算符，定義了由於總 n 電子波函式的反稱性而產生的電子交換能。 這個（所謂的）“交換能”算符 K 僅僅是斯萊特行列式的產物。尋找 Hartree-Fock 單電子波函式現在等價於求解本徵函式方程

${\hat {F}}(1)\phi _{i}(1)=\epsilon _{i}\phi _{i}(1)$

其中 $\phi _{i}\;(1)$ 是一組單電子波函式，被稱為 Hartree-Fock 分子軌道。

原子軌道線性組合

主要文章： w:基組 (化學) 和 w:基組

通常，在現代 Hartree-Fock 計算中，單電子波函式透過 w:原子軌道線性組合 來近似。這些原子軌道被稱為 w:斯萊特型軌道。此外，在使用中，“原子軌道”實際上通常是由一個或多個 高斯型軌道 的線性組合組成，而不是斯萊特型軌道，目的是節省大量的計算時間。

在實踐中使用了各種 基組，其中大多數由高斯函式組成。在一些應用中，使用例如 w:格拉姆-施密特正交化 的正交化方法來生成一組正交基函式。原則上，當計算機透過將 w:重疊矩陣 有效地轉換為 w:單位矩陣 來求解 Roothaan-Hall 方程 時，這可以節省計算時間。然而，在大多數現代的分子 Hartree-Fock 計算程式中，由於正交化的數值成本很高，以及出現了更高效、通常是稀疏的求解 w:廣義特徵值問題 的演算法，其中 Roothaan-Hall 方程 是一個例子，因此沒有采用這個程式。

數值穩定性

w:數值穩定性 可能會成為此過程的一個問題，並且有多種方法可以克服這種不穩定性。其中最基本且普遍適用的一種稱為F-混合或阻尼。使用 F-混合時，一旦計算出一個單電子波函式，它不會被直接使用。而是使用該計算出的波函式和該電子的先前波函式的某種組合——最常見的是計算出的波函式和緊鄰前一個波函式的簡單線性組合。哈特里在原子計算中採用了一種巧妙的技巧，即增加核電荷，從而將所有電子拉得更近。隨著系統的穩定，這逐漸降低到正確的電荷。在分子計算中，有時會採用類似的方法，首先計算正離子的波函式，然後使用這些軌道作為中性分子的起點。現代分子哈特里-福克計算機程式使用各種方法來確保 Roothaan-Hall 方程的收斂。

弱點、擴充套件和替代方法

在“哈特里-福克演算法”部分概述的五個簡化中，第五個通常是最重要的。忽略電子相關性會導致與實驗結果出現很大偏差。為了解決這一弱點，人們提出了許多方法，統稱為 w:哈特里-福克後 方法，這些方法旨在將電子相關性納入多電子波函式。這些方法之一，w:Møller-Plesset 微擾理論，將相關性視為福克算符的 微擾。其他方法將真正的多電子波函式擴充套件為斯萊特行列式的線性組合——例如 w:多組態自洽場、w:組態互動、w:二次組態互動 和 完全活性空間 SCF (CASSCF)。還有其他方法（例如 變分量子蒙特卡羅）透過將哈特里-福克波函式乘以相關函式（“Jastrow”因子）來修改哈特里-福克波函式，該項是顯式地作為多個電子的函式，不能分解為獨立的單粒子函式。

在某些情況下，哈特里-福克計算的替代方法是 w:密度泛函理論，它處理交換和相關能，儘管是近似地。實際上，通常使用兩種方法的混合計算——流行的 B3LYP 方案就是一種這樣的 w:混合泛函 方法。另一種選擇是使用 w:現代價鍵 方法。

軟體包

有關已知可處理哈特里-福克計算的軟體包列表（特別是針對分子和固體），請參閱 w:量子化學和固態物理軟體列表.

來源

• Levine, Ira N. (1991). Quantum Chemistry (第 4 版). 新澤西州英格爾伍德懸崖: Prentice Hall. pp. 455–544. ISBN 0-205-12770-3.
• Cramer, Christopher J. (2002). Essentials of Computational Chemistry. 奇切斯特: John Wiley & Sons, Ltd. pp. 153–189. ISBN 0-471-48552-7.
• Szabo, A.; Ostlund, N. S. (1996). Modern Quantum Chemistry. 紐約米尼奧拉: Dover Publishing. ISBN 0-486-69186-1.

斯萊特行列式

雙粒子情況

最簡單的逼近多粒子體系波函式的方法是取單個粒子的適當選擇的 正交 波函式的乘積。對於空間座標為 $\mathbf {x} _{1}$ 和 $\mathbf {x} _{2}$ 的雙粒子情況，我們有

$\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\chi _{1}(\mathbf {x} _{1})\chi _{2}(\mathbf {x} _{2}).$

此表示式在 w:哈特里-福克方法 中被用作多粒子波函式的 w:ansatz，被稱為 w:哈特里乘積。但是，它不適用於 w:費米子，因為上面的波函式不是反對稱的，而 w:費米子 必須根據 w:泡利不相容原理 是反對稱的。反對稱波函式可以用以下數學表示式來描述

$\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=-\Psi (\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1})$

這對於 Hartree 積不成立。因此，Hartree 積不滿足泡利不相容原理。這個問題可以透過對兩個 Hartree 積進行 w:線性組合 來克服。

$\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\chi _{1}(\mathbf {x} _{1})\chi _{2}(\mathbf {x} _{2})-\chi _{1}(\mathbf {x} _{2})\chi _{2}(\mathbf {x} _{1})\}$

$={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{vmatrix}\chi _{1}(\mathbf {x} _{1})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{1})\\\chi _{1}(\mathbf {x} _{2})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{2})\end{vmatrix}}$

其中係數是 w:歸一化因子。現在這個波函式是反對稱的，並且不再區分費米子，也就是說：無法為特定粒子指定序數，給定的索引可以互換。此外，如果兩個費米子的任何兩個波函式相同，它也會變為零。這等效於滿足泡利不相容原理。

泛化

這個表示式可以推廣到任意數量的費米子，方法是將其寫成 w:行列式。對於一個具有 N 個電子的系統，斯萊特行列式被定義為

$\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\chi _{1}(\mathbf {x} _{1})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{1})&\cdots &\chi _{N}(\mathbf {x} _{1})\\\chi _{1}(\mathbf {x} _{2})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{2})&\cdots &\chi _{N}(\mathbf {x} _{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\chi _{1}(\mathbf {x} _{N})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{N})&\cdots &\chi _{N}(\mathbf {x} _{N})\end{matrix}}\right|\equiv \left|{\begin{matrix}\chi _{1}&\chi _{2}&\cdots &\chi _{N}\\\end{matrix}}\right|,$

在最終表示式中，引入了緊湊的符號：規範化常數和費米子座標的標籤是預設的——只顯示波函式。對於兩粒子情況，哈特里積的線性組合顯然與 N=2 的斯萊特行列式相同。可以看出，使用斯萊特行列式確保了從一開始就得到了反對稱函式；對稱函式會被自動拒絕。同樣，使用斯萊特行列式確保了與w:泡利不相容原理的符合。事實上，如果集合 {χ_i } 是w:線性相關的，斯萊特行列式就會消失。特別地，當兩個（或多個）自旋軌道相同的時候，就會出現這種情況。在化學中，人們用這樣的說法來表達這個事實：沒有兩個電子可以佔據相同的自旋軌道。通常，斯萊特行列式是透過w:拉普拉斯展開來計算的。在數學上，斯萊特行列式是一個反對稱張量，也被稱為w:外積。

單個斯萊特行列式被用作w:哈特里-福克理論中電子波函式的近似。在更精確的理論（例如w:組態相互作用和w:多組態自洽場）中，需要斯萊特行列式的線性組合。

S. F. Boys 提出了“detor”一詞來描述一般型別的斯萊特行列式，但這個術語很少使用。

與受泡利不相容原理約束的w:費米子不同，兩個或多個w:玻色子可以佔據系統中的相同量子態。描述相同w:玻色子系統的波函式在粒子交換下是對稱的，可以根據w:永久行列式展開。

福克矩陣

在w:哈特里-福克方法中，w:量子力學中，福克矩陣是一個矩陣，它近似於給定一組基向量中給定量子系統的單電子w:能量算符。

它最常在w:計算化學中形成，用於嘗試求解原子或分子體系的w:魯坦方程。福克矩陣實際上是對量子系統真實哈密頓量算符的近似。它包含電子-電子排斥力的影響，但只是以平均的方式。重要的是，由於福克算符是一個單電子算符，它不包括w:電子相關能量。

福克矩陣由福克算符定義。對於假設w:閉殼層軌道和單行列式波函式的受限情況，第i個電子的福克算符由下式給出：

${\hat {F}}(i)={\hat {h}}(i)+\sum _{j=1}^{n/2}[2{\hat {J}}_{j}(i)-{\hat {K}}_{j}(i)]$

其中

${\hat {F}}(i)$ 是系統中第i個電子的福克算符，

${\hat {h}}(i)$ 是第i個電子的w:單電子哈密頓量，

$n$ 是電子的數量，${\frac {n}{2}}$ 是閉殼層系統中佔據軌道的數量，

${\hat {J}}_{j}(i)$ 是w:庫侖算符，定義了系統中第j個和第i個電子之間的排斥力，

${\hat {K}}_{j}(i)$ 是w:交換算符，定義了交換兩個電子產生的量子效應。

庫侖算符乘以 2，因為每個佔據軌道上有兩個電子。交換算符不乘以 2，因為它只有對於與第i個電子自旋相同的電子才有非零結果。

對於具有不成對電子的系統，福克矩陣有很多選擇。

哈特里-福克 (HF) 或自洽場 (SCF)

密度泛函理論

與量子態對稱性的關係

泡利不相容原理與單值多粒子波函式等價於要求波函式反對稱。一個反對稱的雙粒子態可以表示為一個疊加態，其中一個粒子處於狀態 $\scriptstyle |x\rangle$，另一個粒子處於狀態 $\scriptstyle |y\rangle$。

$|\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle$

交換下的反對稱性意味著 A(x,y) = −A(y,x)。這表明 A(x,x) = 0，即泡利不相容原理。它在任何基底上都成立，因為酉基底變換保持反對稱矩陣的反對稱性，儘管嚴格來說，量 A(x,y) 不是一個矩陣，而是一個反對稱的二階w:張量。

反之，如果對角量 A(x,x) 在 *任何基底上* 都為零，那麼波函式分量

$A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )$

必然是反對稱的。為了證明這一點，考慮矩陣元

$\langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,$

這是零，因為這兩個粒子同時處於疊加態 $\scriptstyle |x\rangle +|y\rangle$ 的機率為零。但這等於

$\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,$

右側的第一項和最後一項是對角元素，為零，整個和等於零。所以波函式矩陣元滿足

$\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,$.

或者

$A(x,y)=-A(y,x)\,$

高階量子理論中的泡利原理

根據w:自旋統計定理，具有整數自旋的粒子佔據對稱量子態，而具有半整數自旋的粒子佔據反對稱態；此外，量子力學的原理只允許整數或半整數的自旋值。在相對論w:量子場論中，泡利不相容原理來自對具有半整數自旋粒子的虛時間旋轉運算元的應用。由於在非相對論情況下，粒子可以具有任何統計量和任何自旋，因此無法在非相對論量子力學中證明自旋統計定理。

在一維情況下，玻色子以及費米子都可以遵守不相容原理。具有無限強度的δ函式排斥相互作用的一維玻色氣體等價於自由費米氣體。其原因在於，在一維中，粒子交換要求它們互相穿過；對於無限強的排斥，這不可能發生。這個模型由一個量子w:非線性薛定諤方程描述。在動量空間中，不相容原理也適用於具有δ函式相互作用的玻色氣體中的有限排斥， 以及對於相互作用的自旋和w:哈伯德模型在一維中的情況，以及對於其他透過w:貝特假設可解的模型。透過貝特假設可解的模型中的基態是一個費米球。

密度泛函理論

參考資料

另請參閱有關如何新增參考文獻的關於編輯此書籍的說明w:Nanotechnology/About#How_to_contribute。

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奈米系統建模