神經科學/計算神經生物學/刺激-反應系統

神經科學中最常研究的系統之一是刺激-反應系統。在這個框架中，一個系統被提供一個輸入，稱為刺激，並且測量系統的響應。一些典型的刺激示例是視覺場景、聽覺記錄或電流（如果神經系統被直接刺激）；典型的響應示例包括行為、膜電位或放電率的變化（如果直接記錄一個細胞[或細胞組]）。總的目標是找到一個函式，它可以準確地描述刺激和反應之間的關係。

單神經元系統

在單神經元系統中，人們試圖描述單個神經元的電流輸入如何決定細胞發射動作電位或尖峰的機率。單個輸入由時間相關的電流組成，單個輸出由不同時間的尖峰序列組成。透過檢查尖峰時間和先前刺激之間的關係，可以嘗試識別驅動細胞產生動作電位的刺激特徵。所討論的神經元可以是真實的或模擬的。

尖峰觸發平均值

將輸入電流與尖峰機率相關聯的一種方法是，在每個尖峰之前的某個持續時間$T$視窗內描述平均刺激。導致尖峰產生的所有刺激的集合稱為尖峰觸發集合，而尖峰觸發集合的平均值稱為尖峰觸發平均值。如果將尖峰觸發集合視為重要的刺激上的機率分佈，則尖峰觸發平均值是該分佈第一個矩的估計值。直觀地，尖峰觸發平均值的形狀應該與神經元選擇性選擇的主要特徵的形狀相對應。

獲得尖峰觸發平均值後，可以對刺激空間進行降維，以便透過刺激與尖峰觸發平均值的重疊程度來描述所有可能的刺激。如果一個任意刺激由向量${\boldsymbol {s}}=(I_{t-n},I_{t-n+1},...,I_{t-1},I_{t})$ 描述，其中 $I_{t-i}$ 是尖峰前第 $i$ 個時間步的電流，則這種降維表示一個對映$F:{\boldsymbol {s}}\rightarrow s_{0}$，其中$s={\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}_{0}/f_{s}$，即${\boldsymbol {s}}$ 在尖峰觸發平均值 ${\boldsymbol {s}}_{0}$ 上的標量-值的投影，被取樣頻率 $f_{s}$ 歸一化。我們可以使用貝葉斯定理 來寫出對一個刺激產生尖峰的機率，$P(spike|s_{0})$

$P(spike|s_{0})={\frac {P(s_{0}|spike)P(spike)}{P(s_{0})}}.$

這個等式的右邊可以很容易地從資料中計算出來，因為$P(s_{o}|spike)$ 是投影到 ${\boldsymbol {s}}_{0}$ 的尖峰觸發集合，$P(s_{0})$ 是投影到 ${\boldsymbol {s}}_{0}$ 的整個刺激集合，$P(spike)$ 是所有刺激下的平均放電率。因此，要計算給定刺激下的尖峰機率，首先用尖峰觸發平均值過濾刺激，然後將過濾後的刺激透過一個非線性$P(spike|s)$ 來獲得最終的機率。這是線性-非線性-泊松 (LNP) 神經元動作電位生成模型的一個例子。

尖峰觸發協方差

通常情況下，尖峰觸發平均值無法充分表徵神經元的響應特性。例如，考慮一個神經元，它對電流的較大增加和較大減少都有反應。如果向神經元呈現白噪聲刺激，則尖峰觸發集合將包含大約相等比例的具有較大電流增加的刺激和具有較大電流減少的刺激。然而，尖峰觸發平均值將包含單個電流軌跡，其中幾乎沒有變化（因為增加和減少在平均過程中相互抵消），因此未能捕獲驅動神經元相關的刺激特徵。但是，如果檢查尖峰觸發集合的第二矩，稱為尖峰觸發協方差，則通常可以恢復對神經元重要的特徵的特性。尖峰觸發協方差分析與主成分分析（PCA）相關，因為它捕獲了刺激空間中具有最高方差的方向。

尖峰觸發協方差分析背後的原理在二維空間中更直觀。因此，考慮一個正弦電流刺激，其中唯一變化的引數是刺激的頻率和振幅。然後，尖峰觸發集合中的每個尖峰觸發刺激可以用平面上的一個點來表示，其中一個軸對應於頻率，另一個軸對應于振幅。尖峰觸發集合由這些點的集合表示，每個點對應的刺激都導致神經元發放。寬鬆地說，尖峰觸發協方差分析比較了尖峰觸發集合的形狀與整個刺激集合的形狀（如平面中所示）。因此，透過不僅關注平均尖峰觸發刺激，而是關注整個集合的形狀，尖峰觸發協方差分析可以更準確地捕獲與神經元相關的刺激的動態特性。

從數學上講，尖峰觸發協方差分析找到刺激空間中的方向${\boldsymbol {s}}_{1},{\boldsymbol {s}}_{2},...,{\boldsymbol {s}}_{m}$，對應於尖峰觸發集合中最高方差的方向。${\boldsymbol {s}}_{1},{\boldsymbol {s}}_{2},...,{\boldsymbol {s}}_{m}$ 透過尋找尖峰觸發協方差矩陣$C$與先驗協方差矩陣（即整個刺激集合的協方差矩陣）$C^{prior}$之間差異的特徵向量來確定。 $C-C^{prior}$ 具有最大特徵值的特徵向量是解釋最高方差量的方向，具有第二大特徵值的特徵向量是解釋第二大方差量的方向，依此類推。可以任意使用許多方向來描述刺激空間，但通常情況下，當新增更多刺激方向時，模型的預測能力只會增加微不足道的程度。

使用協方差分析確定尖峰機率的方式與使用尖峰觸發平均值非常相似，只是在刺激描述中使用了更多維度。因此，首先計算$s_{1}={\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}_{1}/f_{s},s_{2}={\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}_{2}/f_{s}$，等等。對尖峰觸發集合和整個刺激集合中的所有刺激執行此操作，分別得到分佈$P(s_{1},s_{2},...,s_{m}|spike)$ 和 $P(s_{1},s_{2},...,s_{m})$。將這些與貝葉斯定理結合起來得到

$P(spike|s_{1},s_{2},...,s_{m})={\frac {P(s_{1},s_{2},...,s_{m}|spike)P(spike)}{P(s_{1},s_{2},...,s_{m})}}.$

因此，在使用尖峰觸發的協方差分析時，人們利用了比尖峰觸發的平均值更多的刺激特徵，因此可以更全面地描述可能產生尖峰的刺激屬性。

廣義線性模型

而用於 LNP 尖峰生成模型的線性濾波器 (${\boldsymbol {s}}_{0},{\boldsymbol {s}}_{1},...$) 在使用尖峰觸發的平均值和尖峰觸發的協方差時以確定性的方式計算，在廣義線性模型 (GLM) 中，這些濾波器是在機率框架下確定的。具體來說，濾波器是透過最大似然 選擇的，也就是說，選擇最大化觀察資料集機率的濾波器。重要的是，在 GLM 框架中，似然函式是對數凸的，因此可以獲得全域性最大值，即使在高維濾波器空間中也是如此 。神經元在 GLM 模型下對刺激的反應速率由下式給出：

$\lambda (t)=exp({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {s}}+{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {y}}+\sum _{i}{\boldsymbol {I}}_{i}\cdot {\boldsymbol {y}}_{i})$

其中 ${\boldsymbol {k}}$ 是一個刺激濾波器，${\boldsymbol {h}}$ 是細胞尖峰歷史的濾波器，而 $\{{\boldsymbol {I}}_{i}\}$ 是其他相關細胞的尖峰歷史濾波器。因此，GLM 為不僅包含刺激，而且包含網路中多個相互作用細胞的尖峰歷史依賴性提供了自然的框架 。