核聚變物理與技術/示例頁面

注意：電磁場

如前幾章所述，電磁場是兩個投影的數學抽象${\vec {E}}({\vec {r}}):\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ 和 ${\vec {B}}({\vec {r}}):\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$，滿足麥克斯韋方程組

$rot{\vec {H}}={\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\qquad rot{\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=0$
$div{\vec {B}}=0\qquad {\vec {D}}=\rho$

並可以透過定義為以下公式的磁力線來表示：

${\frac {d{\vec {x}}}{ds}}=\alpha {\vec {B}}({\vec {r}})$

定義：開放磁力線

如果磁力線在等離子體中沒有閉合，則它是開放的。

定義：閉合磁力線

如果磁力線在等離子體中閉合，則它是閉合的。

定理：磁力線方程

假設電磁場${\vec {E}}({\vec {r}}),{\vec {B}}({\vec {r}})$ 具有磁力線。那麼

${\frac {dl_{x}}{B_{x}}}={\frac {dl_{y}}{B_{y}}}={\frac {dl_{z}}{B_{z}}}$

證明
該定理直接來自於磁力線的定義

${\frac {d{\vec {x}}}{ds}}=\alpha {\vec {B}}({\vec {r}})\qquad /.{\frac {ds}{\vec {B}}}$ ${\frac {d{\vec {x}}}{\vec {B}}}=\alpha .ds$

這是一個由三個標量方程組成的向量方程。

${\frac {dl_{x}}{B_{x}}}=\alpha .ds\qquad {\frac {dl_{y}}{B_{y}}}=\alpha .ds\qquad {\frac {dl_{z}}{B_{z}}}=\alpha .ds$

因此可以寫成

${\frac {dl_{x}}{B_{x}}}={\frac {dl_{y}}{B_{y}}}={\frac {dl_{z}}{B_{z}}}\qquad Q.E.D.$