數論/公理

整數的公理

公理是整數的基礎。它們為證明您將在本書其餘部分看到的定理提供了基本依據。

這是一個比較完整的列表

對於 $a$, $b$， 和 $c$ 整數

$\times$ 和 $+$ 的封閉性：$a\times b$ 和 $a+b$ 都是整數

$+$ 的交換律：$a+b=b+a$

$+$ 的結合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$

$\times$ 的交換律：$a\times b=b\times a$

$\times$ 的結合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

分配律：$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

三等分律：$a<0$，$a=0$，或 $a>0$。

良序原理：任何非空正整數集都有最小元素。（這等同於歸納法。）

非平凡性: $0\neq 1$. *實際上，這作為公理是不必要的，因為可以很容易地證明$0\neq 1$. 證明: 假設$0=1$. 存在一個正整數$a$ 使得$a$ 是正整數的成員。 那麼，$a\times 0=a\times 1$ 因此，$0=a$ 然而，由於三等分定理指出每個整數都等於 0、正數或負數，因此存在矛盾，即 $a$ 同時為 0 和正整數。 因此，$0\neq 1$. 這個簡單的證明提供了一個更強大的系統，因為需要假設的條件更少。

存在性: $1$ 是一個整數。