數論/勾股數

假設 a² + b² = c² 為整數，我們知道什麼？注意，透過將每個項乘以一個常數，就會得到一個新的解 (ma)² + (mb)² = (mc)²，因此我們可以將分析限制在那些沒有公因數的 (a,b,c) 上（我們將這些三元組稱為“本原”）。還要意識到，兩個數沒有公因數就足夠了，因為如果兩個數有公因數，那麼第三個數也具有相同的公因數。由於這是這種情況，因此至少一條直角邊是奇數。 兩個“a”和“b”都不能是奇數。首先，注意任何奇數的平方都與 1 (mod 4) 同餘，驗證，奇數要麼與 1 同餘，要麼與 3 (mod 4) 同餘，1² = 1 (mod 4)，而 3² = 9 = 1 (mod 4)。現在，任何兩個奇數，“a”和“b”，都有以下性質 a² + b² = 2 (mod 4)，但這不能是“c²”的形式，因為“c”必須是偶數才能使平方為偶數，偶數的平方可被 4 整除，所以 c² = 0 (mod 4)，所以在任何本原勾股數中，必須有一條“直角邊”（“a”或“b”）是奇數，另一條必須是偶數，迫使 c 為奇數。

結論：如果 (a,b,c) 是一個本原三元組 (a² + b² = c²)，那麼我們可以說“a”總是奇數，“b”總是偶數，“c”總是奇數，並且 gcd(a,b)=1

如果有一種公式可以生成所有可能的勾股數，那就太好了。在這個分析中，a 將是奇數直角邊，b 將是偶數直角邊，c 將是奇數斜邊。

c = b + x（注意 x 必須是奇數） a² + b² = (b + x)² a² = 2bx + x² 或 a² = x(2b + x)

gcd(x,2b + x)=1，因為對於任何素數 p（因為 x 是奇數，p 不能是 2）其中 p $\mid$ x，=> p $\mid$ a² => p $\mid$ a，而 p $\nmid$ (2b + x)，因為如果 p $\mid$ (2b + x) => p $\mid$ 2b => p $\mid$ b，但 gcd(a,b)=1，所以 p $\nmid$ (2b + x)。

瞭解這一點，我們看到 x 和 (2b + x) 都必須是平方數，並且如果我們將這些平方數重新命名為 x = i² 和 (2b + x) =j²，它們必須是奇數，就會發現 a = ij，然後代入求解 b 得到 (2b + i²) =j²，所以 b = (j² - i²)/2，代入求解 c 得到 c = (j² - i²)/2 + i² = (j² + i²)/2（注意 i<j）。

結論：對於任何兩個奇數，i<j 且 gcd(i,j) = 1，都形成一個勾股數，其形式如下 (ij , (j² - i²)/2 , (j² + i²)/2) = (a,b,c)，其中 a² + b² = c²