數論/相對記錄
在一個波動整數序列中，每一項都有一個相對記錄分數，由以下公式定義：
"相對記錄" =
其中 S(x) 是序列中觀察到的項，S(m) 是 S(k) 在 1 ≤ k ≤ x − 1 範圍內 的最大值。
逆值定義為從 1 中減去該值。
"相對記錄" 和 "相對記錄 (逆)" 都是 0 到 1 之間的實數。當且僅當 S(x) 是序列中的記錄項時，"相對記錄" 大於 0.5。當且僅當 S(x) 是序列中的記錄項時，"相對記錄 (逆)" 小於 0.5。當且僅當對所有正整數 k，k < x，S(k) < S(x) 時，項 S(x) 是記錄項。根據慣例：
- 任何整數序列的第一項都被認為是記錄項。
- 打平但沒有打破記錄的項不被視為記錄項。
整數序列 S(x) 是一個波動整數序列，當且僅當它既不是“最終嚴格遞增”也不是“最終嚴格遞減”。等效地：
- I) 存在無窮多個自然數 n，使得 S(n + 1) > S(n)。
- II) 存在無窮多個自然數 n，使得 S(n + 1) < S(n)。
在數論中，兩個重要的波動整數序列是除數函式 d(n) 和素數間隙。對於任何自然數 n，d(n) 是 n 的正除數的個數。例如，d(15) = 4，因為十五有四個除數：1、3、5 和 15。素數間隙，顧名思義，是相鄰素數之間的算術差。在 1 到 100 之間有 25 個素數，它們是 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89 和 97。要找到素數間隙，您需要從它的後繼者中減去一個素數；例如，要找到第八個素數間隙，您需要減去第八和第九個素數：23 - 19 = 4。前 24 個素數間隙是
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8.
該序列中的記錄是 g(1) = 1，g(2) = 2，g(4) = 4，g(9) = 6 和 g(24) = 8。下一次記錄被打破是在第 30 項：g(30) = 127 - 113 = 14。在那之後，您將不會找到更大的項，直到第 99 項：g(99) = 541 - 523 = 18。記錄在 g(154) = 907 - 887 = 20 處再次被打破。由於素數定理，素數間隙會任意增長，因此該記錄將不斷被打破。
d(n) 創下新紀錄的數字稱為高度合數。1000 以下的高度合數是
1、2、4、6、12、24、36、48、60、120、180、240、360、720 和 840。
對於所有 n > 1，d(n) 至少為 2。具有恰好兩個除數的數字是素數。
| n | d(n) | 相對記錄 | 相對記錄 (逆) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 不適用 | 不適用 |
| 2 | 2 | 0.666667 | 0.333333 |
| 3 | 2 | 0.500000 | 0.500000 |
| 4 | 3 | 0.600000 | 0.400000 |
| 5 | 2 | 0.400000 | 0.600000 |
| 6 | 4 | 0.571429 | 0.428571 |
| 7 | 2 | 0.333333 | 0.666667 |
| 8 | 4 | 0.500000 | 0.500000 |
| 9 | 3 | 0.428571 | 0.571429 |
| 10 | 4 | 0.500000 | 0.500000 |
| 11 | 2 | 0.333333 | 0.666667 |
| 12 | 6 | 0.600000 | 0.400000 |
| 13 | 2 | 0.250000 | 0.750000 |
| 14 | 4 | 0.400000 | 0.600000 |
| 15 | 4 | 0.400000 | 0.600000 |
| 16 | 5 | 0.454545 | 0.545455 |
| 17 | 2 | 0.250000 | 0.750000 |
| 18 | 6 | 0.500000 | 0.500000 |
| 19 | 2 | 0.250000 | 0.750000 |
| 20 | 6 | 0.500000 | 0.500000 |
| 21 | 4 | 0.400000 | 0.600000 |
| 22 | 4 | 0.400000 | 0.600000 |
| 23 | 2 | 0.250000 | 0.750000 |
| 24 | 8 | 0.571429 | 0.428571 |
| 25 | 3 | 0.272727 | 0.727273 |
| 26 | 4 | 0.333333 | 0.666667 |
| 27 | 4 | 0.333333 | 0.666667 |
| 28 | 6 | 0.428571 | 0.571429 |
| 29 | 2 | 0.200000 | 0.800000 |
| 30 | 8 | 0.500000 | 0.500000 |
| 31 | 2 | 0.200000 | 0.800000 |
| 32 | 6 | 0.428571 | 0.571429 |
| 33 | 4 | 0.333333 | 0.666667 |
| 34 | 4 | 0.333333 | 0.666667 |
| 35 | 4 | 0.333333 | 0.666667 |
| 36 | 9 | 0.529412 | 0.470588 |
| 37 | 2 | 0.181818 | 0.818182 |
| 38 | 4 | 0.307692 | 0.692308 |
| 39 | 4 | 0.307692 | 0.692308 |
| 40 | 8 | 0.470588 | 0.529412 |
| 41 | 2 | 0.181818 | 0.818182 |
| 42 | 8 | 0.470588 | 0.529412 |
| 60 | 12 | 0.545455 | 0.454545 |
| 80 | 10 | 0.454545 | 0.545455 |
| 100 | 9 | 0.428571 | 0.571429 |
| 120 | 16 | 0.571429 | 0.428571 |
| 150 | 12 | 0.428571 | 0.571429 |
| 300 | 18 | 0.473684 | 0.526316 |
| 301 | 4 | 0.166667 | 0.833333 |
| 302 | 4 | 0.166667 | 0.833333 |
| 303 | 4 | 0.166667 | 0.833333 |
| 304 | 10 | 0.333333 | 0.666667 |
| 305 | 4 | 0.166667 | 0.833333 |
| 306 | 12 | 0.375000 | 0.625000 |
| 307 | 2 | 0.090909 | 0.909091 |
| 308 | 12 | 0.375000 | 0.625000 |
| 360 | 24 | 0.545455 | 0.454545 |
| 720 | 30 | 0.555556 | 0.444444 |
| 840 | 32 | 0.516129 | 0.483871 |
| 850 | 12 | 0.272727 | 0.727273 |
| 1,000 | 16 | 0.333333 | 0.666667 |
| 2,000 | 20 | 0.333333 | 0.666667 |
| 2,500 | 15 | 0.272727 | 0.727273 |
| 2,520 | 48 | 0.545455 | 0.454545 |
| 2,521 | 2 | 0.040000 | 0.960000 |
| 2,522 | 8 | 0.142857 | 0.857143 |
| 2,523 | 6 | 0.111111 | 0.888889 |
| 3,000 | 32 | 0.400000 | 0.600000 |
| 4,000 | 24 | 0.333333 | 0.666667 |
| 5,000 | 20 | 0.294118 | 0.705882 |
| 5,040 | 60 | 0.555556 | 0.444444 |
| 5,041 | 3 | 0.047619 | 0.952381 |
| 5,042 | 4 | 0.062500 | 0.937500 |
| 5,043 | 6 | 0.090909 | 0.909091 |
| 5,044 | 12 | 0.166667 | 0.833333 |
| 5,045 | 4 | 0.062500 | 0.937500 |
| 5,046 | 12 | 0.166667 | 0.833333 |
| 6,000 | 40 | 0.400000 | 0.600000 |
| 6,007 | 2 | 0.032258 | 0.967742 |
| 6,008 | 8 | 0.117647 | 0.882353 |
| 7,000 | 32 | 0.347826 | 0.652174 |
| 7,500 | 30 | 0.333333 | 0.666667 |
| 7,560 | 64 | 0.516129 | 0.483871 |
| 7,561 | 2 | 0.033333 | 0.966667 |
| 7,562 | 8 | 0.111111 | 0.888889 |
| 7,563 | 4 | 0.058824 | 0.941176 |
| 7,564 | 12 | 0.157895 | 0.842105 |
| 7,565 | 8 | 0.111111 | 0.888889 |
| 7,566 | 16 | 0.200000 | 0.800000 |
| 7,567 | 8 | 0.111111 | 0.888889 |
| 7,568 | 20 | 0.238095 | 0.761905 |
| 7,569 | 9 | 0.123288 | 0.876712 |
| 7,570 | 8 | 0.111111 | 0.888889 |
| 7,571 | 4 | 0.058824 | 0.941176 |
| 7,572 | 12 | 0.157895 | 0.842105 |
| 7,573 | 2 | 0.033333 | 0.966667 |
| 8,000 | 28 | 0.304348 | 0.695652 |
| 9,000 | 48 | 0.428571 | 0.571429 |
| 10,000 | 25 | 0.280899 | 0.719101 |
| 15,120 | 80 | 0.526316 | 0.473684 |
| 16,000 | 32 | 0.285714 | 0.714286 |
| 20,000 | 30 | 0.272727 | 0.727273 |
| 30,000 | 50 | 0.342466 | 0.657534 |
| 50,000 | 30 | 0.230769 | 0.769231 |
| 50,400 | 108 | 0.519231 | 0.480769 |
| 52,000 | 48 | 0.307692 | 0.692308 |
| 60,000 | 60 | 0.333333 | 0.666667 |