數值方法/數值積分

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通常，我們需要找到一個函式的積分，該函式可能難以解析地積分（即，作為定積分）或不可能（該函式僅作為一組值存在）。

下面列出了幾種近似該積分的方法。

梯形法則

考慮一些函式，可能是未知的，$f(x)$，在間隔 [a,b] 上具有已知值，在 n+1 個等間距點 x_i 上，間距為 $h={(b-a) \over n}$，$x_{0}=a$ 和 $x_{n}=b$.

此外，將第 i 個網格點的函式值表示為 $f(x_{i})$.

使用積分作為“求函式曲線下方面積”的概念，我們可以將間隔的第 i 段上的積分表示為從 $x_{i-1}$ 到 $x_{i}$ 如下：

$\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x)\,dx$ = (1)

由於我們可能不知道 $f(x)$ 的反導數，我們必須對其進行近似。梯形法則中的這種近似，不出所料，涉及使用寬度為 h、左高度為 $f(x_{i-1})$、右高度為 $f(x_{i})$ 的梯形來近似 (1)。因此，

(1) $\simeq {1 \over 2}h(f(x_{i-1})+f(x_{i}))$ = (2)

(2) 為我們提供了對曲線下方的單個間隔面積的近似值，並且必須重複以覆蓋整個間隔。

對於 n = 2 的情況，

$\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(x)\,dx\simeq {1 \over 2}h(f(x_{0})+f(x_{1}))+{1 \over 2}h(f(x_{1})+f(x_{2}))$ = (3)

將(3)式右側的同類項合併，得到

${1 \over 2}h(f(x_{0})+f(x_{1})+f(x_{1})+f(x_{2}))$

或者

${1 \over 2}h(f(x_{0})+2f(x_{1})+f(x_{2}))$

現在，將h代入並整理，得到

${(b-a) \over 2\cdot 2}(f(x_{0})+2f(x_{1})+f(x_{2}))$

為了引出梯形法則的一般形式，現在考慮n = 4的情況，

$\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(x)\,dx\simeq {1 \over 2}h(f(x_{0})+f(x_{1}))+{1 \over 2}h(f(x_{1})+f(x_{2}))+{1 \over 2}h(f(x_{2})+f(x_{3}))+{1 \over 2}h(f(x_{3})+f(x_{4}))$

與n=2情況類似，我們得到

${(b-a) \over 2\cdot 4}(f(x_{0})+2(f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3}))+f(x_{4}))$

推廣到一般情況，當n = N時，

$\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(x)\,dx\simeq {(b-a) \over 2\cdot n}(f(x_{0})+2(\sum _{k=1}^{N}f(x_{k}))+f(x_{n}))$

這是梯形法則的圖形表示，這裡$y=-x^{2}+5$.

示例

將 $\int _{0}^{1}x^{3}\,dx$ 近似到 5% 以內。

首先，由於該函式可以精確積分，讓我們進行積分，以驗證我們的答案。

$\int _{0}^{1}x^{3}\,dx=\left[{x^{4} \over 4}\right]_{0}^{1}={1 \over 4}=0.25$ = (4)

我們將從間隔大小為 1 開始，只考慮端點。

$f(0)=0$

$f(1)=1$

(4) $\simeq {(1-0) \over (2\cdot 1)}(f(0)+f(1))={1 \over 2.1}(0+1)={1 \over 2}=0.5$

相對誤差 = $\left|{(0.5-0.25) \over 0.25}\right|=1$

嗯，對於我們的目的來說有點高。所以，我們將間隔大小減半到 0.5 並新增到列表中

$f(0.5)=0.125$

(4) $\simeq {(1-0) \over (2\cdot 2)}(f(0)+2f(0.5)+f(1))={1 \over 2\cdot 2}(0+2(0.125)+1)={1.25 \over 4}=0.3125$

相對誤差 = $\left|{(0.3125-0.25) \over 0.25}\right|=0.25$

仍然高於 0.01，但比初始步驟有了很大的改善。我們將以相同的方式繼續，計算 $f(0.25)$ 和 $f(0.75)$，四捨五入到小數點後四位。

$f(0.25)=0.0156$

$f(0.75)=0.4219$

(4) $\simeq {(1-0) \over (2\cdot 4)}(0+2(0.0156+0.125+0.4219)+1)={1 \over 8}(2.2150)=0.2656$

相對誤差 = $\left|{(0.2656-0.25) \over 0.25}\right|=0.0624$

我們正在朝著正確方向前進。繼續，間隔大小為 0.125，並像之前一樣進行舍入。

$f(0.125)=0.0020$

$f(0.375)=0.0527$

$f(0.625)=0.2441$

$f(0.875)=0.6699$

(4) $\simeq {(1-0) \over (2\cdot 8)}(0+2(0.0020+0.0156+0.0527+0.0125+0.2441+0.4219+0.6699)+1)={1 \over 16}(4.0624)=0.2539$

相對誤差 = $\left|{(0.2539-0.25) \over 0.25}\right|=0.0156$

由於我們的相對誤差小於 5%，因此我們停止計算。

誤差分析

令 y=f(x) 在 [x₀,x_n] 中連續、行為良好且具有連續導數。我們在 x=x₀ 處展開 y 的泰勒級數，因此 -
$\int _{x_{0}}^{x_{1}}y\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}[y_{0}+(x-x_{0})y'_{0}+(x-x_{0})^{2}y''_{0}/2!+......]\,dx$

辛普森法則

考慮某個函式 $y=f(x)$，它可能未知，但在區間 [a,b] 上有 n+1 個等間距點的已知值，則定義為

$\int _{x_{0}}^{x_{n}}f(x)\,dx\simeq {1 \over 3}h{\bigg \{}f(x_{0})+f(x_{n})+2{\Big (}f(x_{2})+f(x_{4})+...+f(x_{n-2}){\Big )}+4{\Big (}f(x_{1})+f(x_{3})+...+f(x_{n-1}){\Big )}{\bigg \}}$

其中 $h={(b-a) \over n}$ 以及 $x_{0}=a$ 以及 $x_{n}=b$.

示例

使用 $n=6$ ($n$ 必須為偶數) 計算 $\int \limits _{0}^{1.2}{x\left({8-x^{3}}\right)^{\frac {1}{2}}dx}$。

解：這裡 $f(x)=x\left({8-x^{3}}\right)^{\frac {1}{2}}$

由於 $a=0$ 以及 $b=1.2$，所以 $h={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.2-0}{6}}=0.2$

現在，當 $a=x_{0}=0$ 時，$f(x_{0})=0$

由於 $x_{n}=x_{n-1}+h$，因此對於 $x_{1}=0.2$，$x_{2}=0.4$，$x_{3}=0.6$，$x_{4}=0.8$，$x_{5}=1$，$x_{6}=b=1.2$，對應的值為 $f(x_{1})=0.7784$，$f(x_{2})=1.58721$，$f(x_{3})=1.6740$，$f(x_{4})=2.1891$，$f(x_{5})=2.6458$，$f(x_{6})=3.0053$

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辛普森 3/8 法則

被稱為“辛普森 3/8 法則”的數值積分技術歸功於英國萊斯特郡的數學家托馬斯·辛普森（1710-1761）。他還研究了數值插值和機率論領域。

定理（辛普森 3/8 法則）考慮在區間 上的函式 ，其中 ， ，和 。辛普森 3/8 法則是

   .   

這是一個對區間 上的函式積分的數值近似，我們有以下表達式

   .  

辛普森 3/8 法則的餘項為 ，其中 在 ，之間，且有以下等式

   .

證明 辛普森 3/8 法則 辛普森 3/8 法則

複合辛普森 3/8 法則

   Our next method of finding the area under a curve  is by approximating that curve with a series of cubic segments that lie above the intervals  .  When several cubics are used, we call it the composite Simpson's 3/8 rule.  

定理（複合辛普森 3/8 法則）考慮在區間 上的函式 。假設區間被等寬的 子區間細分，使用等間距的取樣點 。複合辛普森 3/8 法則對於 子區間是

   .  

這是一個對區間 上的函式積分的數值近似，我們寫作

   .  

證明 辛普森 3/8 法則 辛普森 3/8 法則

複合辛普森 3/8 法則的餘項

推論（辛普森 3/8 法則：餘項）假設 被細分為寬度的 子區間。複合辛普森 3/8 法則

   .  

是一個對積分的數值近似，並且

   .  

此外，如果 ，則存在一個值 ，使得誤差項具有以下形式

   .  

這使用“大 O 符號”表示。

備註。當步長縮小到原來的 時，餘項應該大約縮小到原來的 。

演算法 複合辛普森 3/8 法則。為了近似積分

   ,  

在等間距取樣點 上取樣，其中 。注意， 和 。

動畫 (辛普森 3/8 法則 辛普森 3/8 法則)。指向動畫的網際網路超連結。

計算機程式 辛普森 3/8 法則 辛普森 3/8 法則

Mathematica 子程式 (辛普森 3/8 法則)。面向物件程式設計。

示例 1. 使用辛普森 3/8 法則，當 m = 1, 2, 4 時，數值近似積分 。 解答 1.

示例 2. 使用辛普森 3/8 規則，當 m = 10, 20, 40, 80, 160 時，數值逼近積分。解 2.

示例 3. 求解積分的解析值（即求解“真值”）。解 3.

示例 4. 使用示例 3 中的“真值”，求解示例 2 中辛普森 3/8 規則逼近的誤差。解 4.

示例 5. 當步長縮減為 的時候，誤差項應該大約縮減為 。探索這種現象。解 5.

示例 6. 使用辛普森 3/8 規則，當 m = 1, 2, 4 時，數值逼近積分。解 6.

示例 7. 使用辛普森 3/8 規則，當 m = 10, 20, 40, 80, 160 時，數值逼近積分。解 7.

示例 8. 求解積分的解析值（即求解“真值”）。解 8.

示例 9. 使用示例 8 中的“真值”，求解示例 7 中辛普森 3/8 規則逼近的誤差。解 9.

示例 10. 當步長縮減為 的時候，誤差項應該大約縮減為 。探索這種現象。解 10.

辛普森 3/8 規則的各種場景和動畫。

示例 11. 令 在 上。使用辛普森 3/8 規則來逼近積分的值。解 11.

動畫 (辛普森 3/8 法則 辛普森 3/8 法則)。指向動畫的網際網路超連結。

本科生研究經驗

數值積分的辛普森規則 數值積分的辛普森規則 網頁連結和文章書目。

參考資料和進一步閱讀

• Eric W. Weisstein. "梯形法則." 來自 MathWorld--Wolfram 網頁資源. https://mathworld.tw/TrapezoidalRule.html
• Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). 數值積分方法. Courier Corporation.

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