數值方法/初值問題求解

假設你得到了一個 $y'(x)=f(x,y)$ ，其中 $y$ ，因變數，是自變數 $x$ 的函式，並且給定了 $y(x_{0})=y_{0}$ 。這是一個常微分方程的初值問題，因為它指定了初始條件和給出 $y$ 的微分方程。問題是計算 $y$ 在 $x>x_{0}$ 點的值。求解這類問題存在各種各樣的數值方法。它們產生一個數值解，它只是一個值序列 $y_{n}$ ，對應於點 $x_{n}$ 。

數值解是一個近似解。用 $y(x)$ 表示的真實解可能是

無法得到，因為函式 f 可能不可積
太難得到

無論如何，數值解給了我們一個基於已知資訊計算 $y_{n}$ 的演算法。因此，人們可以編寫一個計算機程式來計算它。這就是模擬的基礎。

尤拉方法是最簡單的，它有點類似於數值地計算積分。在圖形上很容易看到發生了什麼。在每個點 x_n，你只是觀察導數告訴你的前進方向，然後朝那個方向邁出一小步。

尤拉顯式方法

設 $x_{n+1}=x_{n}+h$ ，其中h 是某個小的步長值。
設 $y_{n+1}=y_{n}+h\cdot f(x_{n},y_{n})$ 。

Heun 二階或顯式梯形方法

設 $x_{n+1}=x_{n}+h$ ，其中h 是某個小的步長值。
設 ${\tilde {y}}_{n+1}=y_{n}+h\cdot f(x_{n},y_{n})$ 。
令 $y_{n+1}=y_{n}+(h/2)\cdot [f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},{\tilde {y}}_{n+1})]$ .

示例

現在我們將介紹一些使用該演算法的示例。

$y'=x$

假設我們也知道我們要使用 n=4 次迭代計算 f(1)。因此 h=1/4=.25。

x_0=0, y_0=5
x_1=.25, y_1=5+.25*f'(0,5)=5+.25*0=5
x_2=.5, y_2=5+.25*f'(.25,5)=5+.25*.25=5+.0625=5.0625
x_3=.75, y_3=5.0625+.25*f'(.5,5.0625)=5.0625+.25*.5=5.0625+.125=5.1875
x_4=1, y_4=5.1875+.25*f'(.75,5.1875)=5.1875+.25*.75=5.1875+.1875=5.375

所以我們完成了，我們知道 f(1)~=5.375。

我們透過積分知道精確解，y'=x，所以 y=x^2/2+c。在我們的例子中，為了計算 c，我們將 0 替換為 x，將 5 替換為 y，以看到 c=5。所以 f(1)=1^2/2+5 = 5.5。

誤差分析

誤差只取決於函式的凹凸性（二階導數）。因此我們可以估計誤差為 O(x^2)。我們可以透過採用更小的步長來減少誤差。

龍格-庫塔方法

龍格-庫塔方法是一系列演算法，特別適合於數值求解聯立微分方程組。

假設我們有一對聯立方程，形式為

${\frac {dx}{dt}}=f(t,x,y)$ ，以及

${\frac {dy}{dt}}=g(t,x,y)$ ,

我們希望對它們進行數值積分，相對於 t，步長為 $\Delta t$ 。然後我們計算以下數量

${\begin{array}{lcl}m_{1}&=&f(t,x,y)\\n_{1}&=&g(t,x,y)\\m_{2}&=&f(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{1}}{2}},y+{\frac {n_{1}}{2}})\\n_{2}&=&g(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{1}}{2}},y+{\frac {n_{1}}{2}})\\m_{3}&=&f(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{2}}{2}},y+{\frac {n_{2}}{2}})\\n_{3}&=&g(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{2}}{2}},y+{\frac {n_{2}}{2}})\\m_{4}&=&f(t+\Delta t,x+m_{3},y+n_{3})\\n_{4}&=&g(t+\Delta t,x+m_{3},y+n_{3})\\\Delta x&=&{\frac {1}{6}}(m_{1}+2m_{2}+2m_{3}+m_{4})\Delta t\\\Delta y&=&{\frac {1}{6}}(n_{1}+2n_{2}+2n_{3}+n_{4})\Delta t\\\end{array}}$