數值方法資格考試問題及解答（馬里蘭大學）/2004年1月 667

問題 4a

考慮以下邊值問題 ${\begin{cases}-u''(x)+b(x)u(x)=f(x),0\leq x\leq 1\\u(0)=u_{l},u(1)=u_{r}\end{cases}}\qquad (1)\!\,$ 其中$b(x),f(x)\in C[0,1]\!\,$，以及$b(x)\geq 0\!\,$。在大小為$h\!\,$的均勻網格上，為$(1)\!\,$的近似解，制定一個差分方法。解釋如何用差商逼近$u''(x)\!\,$

解答 4a

從$u(x+h)\!\,$和$u(x-h)\!\,$在$x\!\,$附近的泰勒展開式，我們有

$u''(x)={\frac {u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^{2}}}+{\frac {u''''(\xi )}{12}}h^{2}\!\,$

令 $P=\{x_{i}\}_{i=0}^{N+1}\!\,$ 為 $[0,1]\!\,$ 的均勻劃分，步長為 $h\!\,$

那麼對於 $i=2,\ldots ,N-1\!\,$ 我們有

${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{h^{2}}}&&&{\frac {2}{h^{2}}}+b(x_{i})&&&-{\frac {1}{h^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{i-1}\\u_{i}\\u_{i+1}\end{bmatrix}}=f(x_{i})\!\,$

對於 $i=1:\!\,$

${\begin{bmatrix}{\frac {2}{h^{2}}}+b(x_{1})&&&-{\frac {1}{h^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}=f(x_{1})+{\frac {u_{l}}{h^{2}}}\!\,$

對於 $i=N:\!\,$

${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{h^{2}}}&&&{\frac {2}{h^{2}}}+b(x_{N})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{N-1}\\u_{N}\end{bmatrix}}=f(x_{N})+{\frac {u_{r}}{h^{2}}}\!\,$

問題 4b

假設 $b(x)=0\!\,$ 以及 $u_{l}=u_{r}=0\!\,$ 在 $(1)\!\,$ 中。在這個特殊情況下，在均勻網格上，為 $(1)\!\,$ 的近似解制定有限元方法。使用有限元空間的標準“帽子函式”基，顯式寫出有限元方程。證明如果在有限元方程的右手邊使用適當的求積公式，則它們（有限元方程）與有限差分方程相同。

解答 4b

${\begin{bmatrix}{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&&\\-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\\vdots \\u_{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{1}f\phi _{i}\\\vdots \\\\\int _{0}^{1}f\phi _{N}\end{bmatrix}}\!\,$

由於我們在右手邊對帽子函式進行積分，因此適當的求積公式是採用中點規則的一半。常規中點規則會給出帽子函式實際積分值的雙倍。

因此，$\int _{0}^{1}f(x)\phi _{i}(x)\approx hf(x_{i})\!\,$

那麼有限差分法和有限元法會產生相同的矩陣。

問題 4c

證明在 $(b)\!\,$ 中的矩陣是非奇異的。

解答 4c

由於該矩陣是嚴格對角佔優的，因此它是非奇異的。

為了證明該矩陣具有非零行列式，可以使用 2n 個初等行操作來證明

${\begin{bmatrix}{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&\\-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&\\&\ddots &\ddots &\\&&-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}\end{bmatrix}}$

與以下矩陣具有相同的行列式

${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&\\&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}\\&&&{\frac {n+1}{h}}\\\end{bmatrix}}$

它是一個 ${\frac {n+1}{h^{n}}}\neq 0$.

問題 5

考慮以下耗散初值問題： ${\begin{cases}y'+f(y)=0,0\leq x\leq 1\\y(0)=y_{0}\end{cases}}\qquad (2)\!\,$ 其中 $f:R\rightarrow R\!\,$ 是光滑的並且滿足 $0\leq f'(y)\!\,$

問題 5a

寫出 (2) 的後向尤拉方法。這將產生一個代數方程。解釋你將如何求解該方程。

解 5a

使用泰勒展開式，我們有

${\begin{aligned}y(x-h)&=y(x)-y'(x)h+{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\y(x)&=y(x-h)+y'(x)h-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\y(x_{n})&=y(x_{n-1})+\underbrace {y'(x_{n})} _{-f(y(x_{n}))}h-\underbrace {{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}} _{O(h^{2})}\qquad (*)\\\end{aligned}}$

因此我們有後向尤拉方法

$y_{n}=y_{n-1}-hf(y_{n})\qquad (**)\!\,$

設 $e_{n}\equiv y(x_{n-1})-y_{n}\!\,$

問題 5b

推匯出以下形式的誤差估計： $|y(x_{n})-y_{n}|\leq {\frac {M}{2}}h,n=1,2,\ldots \!\,$ 其中 $M=\max _{0\leq x\leq 1}|y''(x)|\!\,$. 直接推導，不要使用標準定理。 (注意右邊沒有指數)。

解 5b

將 $(*)\!\,$ 和 $(**)\!\,$ 相減，得到

${\begin{aligned}e_{n}&=e_{n-1}-h[f(y(x_{n}))-f(y_{n})]-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\&=e_{n-1}-hf'(y(\alpha ))e_{n}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\quad {\mbox{ (by MVT) }}\\e_{n}^{2}&=e_{n-1}e_{n}-h\underbrace {f'(y\alpha )} _{<0}e_{n}^{2}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}e_{n}\\&\leq e_{n-1}e_{n}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}e_{n}\\e_{n}&\leq e_{n-1}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\\|e_{n}\|&\leq \|e_{n-1}\|+{\frac {\|y''\|_{\infty }}{2}}h^{2}\\\|e_{n}\|&\leq n{\frac {\|y''\|_{\infty }}{2}}h^{2}\\&\leq {\frac {M}{2}}h\end{aligned}}\!\,$