數值方法資格考試試題及解答 (馬里蘭大學) / 2000 年 1 月

問題 1

令 $f\!\,$ 為一個具有 3 個連續導數的函式。令 $q\!\,$ 為一個在 $x_{0}<x_{1}<x_{2}\!\,$ 上插值 $f\!\,$ 的二次多項式。令 $h=max(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{1})\!\,$ 且

\max _{x_{0}\leq x\leq x_{2}}|f'''(x)|=K\!\,

.

問題 1a

證明

\max _{x_{0}\leq x\leq x_{2}}|f''(x)-q''(x)|=Ch^{\alpha }\!\,

,

其中 $C>0\!\,$ 僅取決於 $K\!\,$ 並決定 $\alpha _{i}\!\,$ 。(提示：關鍵是證明 $f''(x)-q''(x)\!\,$ 在 $[x_{0},x_{2}]\!\,$ 中的某個點處消失。然後可以透過積分得到結果。）

解 1a

提示的證明

斷言：存在 $\eta \in (x_{0},x_{2})\!\,$ 使得 $f^{\prime \prime }(\eta )-q^{\prime \prime }(\eta )=0\!\,$

證明：插值多項式可以用除差係數表示，即

$q(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1})\!\,$

這意味著

$q^{\prime \prime }(x)=2f[x_{0},x_{1},x_{2}]\!\,$

一般來說，除差係數可以表示為 $f\!\,$ 的導數的階乘加權點，即

$(\triangle )\qquad f[x_{0},\ldots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{(n)!}}\qquad \xi \in I[x_{0},\ldots ,x_{n}]\!\,$

因此，

$f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {f^{\prime \prime }(\eta )}{2!}}\qquad \eta \in [x_{0},x_{2}]\!\,$

這意味著

$q^{\prime \prime }(\eta )-f^{\prime \prime }(\eta )=0\!\,$

應用提示

根據提示，我們知道

$f^{\prime \prime }(\eta )-q^{\prime \prime }(\eta )=0\!\,$

這意味著

$f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )+q^{\prime \prime }(\eta )\!\,$

由於 $q(x)\!\,$ 是二次函式， $q^{\prime \prime }(x)\!\,$ 是常數，即對於所有 $x\!\,$ ， $q^{\prime \prime }(x)=K\!\,$

因此，

$f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )+q^{\prime \prime }(\eta )=f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )\!\,$

根據微積分基本定理，

${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )&=\int _{\eta }^{x}f^{\prime \prime \prime }(t)dt\\&\leq \|f^{\prime \prime \prime }(x)\|_{\infty }|x-\eta |\\&\leq 2h\|f^{\prime \prime \prime }\|_{\infty }\end{aligned}}$

因此，

$\max _{x\in [x_{0},x_{2}]}|f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)|\leq \underbrace {2\|f^{\prime \prime \prime }(x)\|_{\infty }} _{C}h^{1}\!\,$

問題 1b

現在假設 $h=x_{2}-x_{1}=x_{1}-x_{0}\!\,$ 並且 $f\!\,$ 具有 4 個連續導數。在這種情況下，證明

|f''(x_{1})-q''(x_{1})|\leq C'h^{\beta }\!\,

其中 $\beta >\alpha \!\,$ . $C'\!\,$ 用 $f\!\,$ 的導數表示？

解 1b

f 的三階導數為零

我們知道 $f[x_{0},x_{1},x_{2},x]=0\!\,$ ，因為 $p\in P_{2}\!\,$ 。現在，根據 $(\triangle )\!\,$ ，我們可以得出結論，存在 $\eta ^{*}\in I[x_{0},x_{1},x_{2},x]\!\,$ ，使得 $f'''(\eta ^{*})=0\!\,$ .

微積分基本定理的應用（兩次）

{\begin{aligned}f''(x_{1})-f''(\eta )&=\int _{\eta }^{x_{1}}f^{(3)}(x)dx\\&=\int _{\eta }^{x_{1}}f^{(3)}(x)-\underbrace {f^{(3)}(\eta ^{*})} _{0}dx\\&=\int _{\eta }^{x_{1}}\int _{\eta *}^{x}f^{(4)}(t)dtdx\\&\leq \|f^{(4)}\|_{\infty }|x-\eta ^{*}||x_{1}-\eta |\\&\leq \underbrace {2\|f^{(4)}\|_{\infty }} _{C'}h^{2},\end{aligned}}

問題 2a

找到一個集合 $\{p_{0},p_{1},p_{2}\}\!\,$ ，使得 $p_{i}\!\,$ 是一個 $i\!\,$ 次多項式，並且該集合在 $[0,\infty )\!\,$ 上關於權函式 $w(x)=e^{-x}\!\,$ 正交。（注意： $\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx=n!\!\,$ ， $0!=1.\!\,$ )

解法 2a

應用 Gram-Schmidt 正交化方法

為了找到正交的 $\{p_{0},p_{1},p_{2}\}\!\,$ ，使用 Gram-Schmidt 正交化方法。

令 $\{v_{0}=1,v_{1}=x,v_{2}=x^{2}\}\!\,$ 是 $P_{2}\!\,$ 的一個基底。

計算 p_0

選擇 $p_{0}=v_{0}=1\!\,$ 。

計算 p_1

根據 Gram-Schmidt 正交化方法，我們有

$p_{1}=\underbrace {x} _{v_{1}}-{\frac {(v_{1},p_{0})}{(p_{0}\cdot ,p_{0})}}\cdot \underbrace {1} _{p_{0}}\!\,$ ，其中

$(v_{1},p_{0})=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot 1\cdot xdx=1\!\,$

$(p_{0},p_{0})=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot 1\cdot 1dx=1\!\,$

因此 $p_{1}=x-1\!\,$

計算 p_2

繼續使用 Gram-Schmidt 正交化方法，我們有

$p_{2}=\underbrace {x^{2}} _{v_{2}}-{\frac {(v_{2},p_{1})}{(p_{1},p_{1})}}\cdot \underbrace {(x-1)} _{p_{1}}-{\frac {(v_{2},p_{0})}{(p_{0},p_{0})}}\cdot \underbrace {1} _{p_{0}}\!\,$ 其中

${\begin{aligned}(v_{2},p_{1})&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{2}\cdot (x-1)dx\\&=\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{3}dx} _{3!}-\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{2}dx} _{2!}\\&=4\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(p_{1},p_{1})&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot (x-1)\cdot (x-1)dx\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot (x^{2}-2x+1)dx\\&=\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{2}dx} _{2!}-2\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot xdx} _{1!}+\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot 1dx} _{0!}\\&=1\end{aligned}}$