OCR A-Level 物理/電子、波和光子新規範/量子物理學

光子模型

電磁波以波的形式在空間中傳播，這一點可以透過它們的衍射和干涉能力來證明。然而，當波與物質相互作用時，它們以離散能量包的形式進行，這些能量包被稱為量子。一個電磁能量量子被稱為光子。

一個光子的能量 ${\textstyle E_{\gamma }}$ 與它所代表的電磁輻射的頻率 ${\textstyle f}$ 透過以下方程相關聯：

${\textstyle E_{\gamma }=hf}$

其中 ${\textstyle h}$ 是普朗克常數，等於 ${\textstyle 6.63\times 10^{-34}}$ Js。

頻率與波長 ${\textstyle \lambda }$ 透過以下方程相關聯：

${\textstyle v=\lambda f}$

其中 ${\textstyle v}$ 是波的速度。所有光子在真空中以光速 ${\textstyle c}$ 傳播，因此對於光子：

${\textstyle c=\lambda f}$

${\textstyle f={\frac {c}{\lambda }}}$

${\textstyle \therefore E_{\gamma }={\frac {hc}{\lambda }}}$

其中 ${\textstyle \lambda }$ 是光子的波長， ${\textstyle c}$ 是真空中光速，等於 ${\textstyle 3\times 10^{8}}$ ms^-1。

電子伏特

電子伏特 (eV) 是一個比焦耳 (J) 更小的能量單位，在量子層面的計算中更方便。電子伏特被定義為 *電子在 1 伏特的電勢差中加速獲得的能量*。電壓 ${\textstyle V}$ 被定義為每單位電荷 ${\textstyle Q}$ 轉移的能量 ${\textstyle W}$ ，可以改寫為；

${\textstyle W=VQ}$

對於電子伏特，電壓等於 1 伏特，電荷等於電子的電荷 ${\textstyle e}$ ，因此；

${\textstyle W=1\times e}$

${\textstyle 1}$ eV ${\textstyle =1.6\times 10^{-19}}$ J

使用 LED 計算 ${\textstyle h}$

發光二極體 (LED) 發射光波，因此也發射光子。然而，LED 是二極體，因此只有在超過某個電壓 ${\textstyle V_{c}}$ （稱為閾值電壓）時，它們才會開始允許電流透過。當電路電壓等於閾值電壓以及 LED 中的電子損失能量時，就會發射光子。

因此，電子損失的能量大致等於光子獲得的能量。這只是一個近似值，因為沒有 LED 的效率是 100%。我們可以利用這一點來求得普朗克常數 ${\textstyle h}$ 的近似值。

${\textstyle E_{e}\approx E_{\gamma }}$

${\textstyle eV_{c}\approx {\frac {hc}{\lambda }}}$

${\textstyle V_{c}\approx ({\frac {hc}{e}}){\frac {1}{\lambda }}}$

${\textstyle V_{c}\propto {\frac {1}{\lambda }}}$

因此，LED 的閾值頻率越高，發射的光子的波長就越短。在圖表的 y 軸上繪製 ${\textstyle V_{c}}$ ，在 x 軸上繪製 ${\textstyle {\frac {1}{\lambda }}}$ ，將得到一條大致穿過原點的直線。這條直線的斜率 ${\textstyle m}$ 由以下關係定義；

${\textstyle m\approx {\frac {hc}{e}}}$

因此，重新排列以求解 ${\textstyle h}$ ，我們得到；

${\textstyle h\approx {\frac {me}{c}}}$

光電效應

光電效應是指 _當金屬吸收足夠高頻率的電磁輻射時，會從表面釋放電子的現象_。透過這種現象發射的電子被稱為光電子。

金箔驗電器實驗

光電效應可以用金箔驗電器來演示。在這個實驗中，金屬板、杆和葉片最初帶負電荷。同種電荷相互排斥，導致金箔上升。如果金屬板放電，金箔會塌回垂直位置。

當可見光（無論強度如何）照射到金屬板時，金箔保持上升。當紫外光（即使在非常低的強度下）照射到金屬板時，金箔會塌陷。因此，照射到金屬板上的電磁輻射的強度不會影響電子的發射，但光的頻率會影響。這證明入射光必須以離散的包（光子）的形式到達，並且只有當光子的能量超過一定閾值時，金屬板才會發射電子。光子的能量必須足夠大，才能使電子從原子質子的靜電影響中解脫出來。

愛因斯坦的光電方程

愛因斯坦推匯出一個方程來描述金箔驗電器實驗和光電效應的結果。這被稱為光電方程，它指出入射光子的能量 ${\textstyle E_{\gamma }}$ 等於以下兩者的總和：從金屬表面釋放電子所需的最小能量 ${\textstyle \phi }$ （也稱為 _功函式_）；以及電子釋放時的最大動能 ${\textstyle KE_{max}}$ 。

${\textstyle E_{\gamma }=\phi +KE_{max}}$

${\textstyle hf=\phi +KE_{max}}$

當光子的能量小於功函式時，不會發射電子。當光子的能量等於或大於功函式時，電子將被髮射。

閾值頻率

閾值頻率 ${\textstyle f_{0}}$ 是光子必須具有的最小頻率，才能從金屬表面釋放電子。因此，當 ${\textstyle f=f_{0}}$ 時， ${\textstyle KE_{max}=0}$ 。

${\textstyle \therefore hf_{0}=\phi }$

${\textstyle f_{0}={\frac {\phi }{h}}}$

閾值波長

閾值頻率 ${\textstyle \lambda _{0}}$ 是光子能夠從金屬表面釋放電子的最小波長。因此，當 ${\textstyle \lambda =\lambda _{0}}$ 時， ${\textstyle KE_{max}=0}$ 。

${\textstyle \therefore {\frac {hc}{\lambda _{0}}}=\phi }$

${\textstyle {hc}=\phi \lambda _{0}}$

${\textstyle \lambda _{0}={\frac {hc}{\phi }}}$

釋放的光電子的最大速度

粒子的動能和粒子的速度由以下公式關聯：

${\textstyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

釋放的電子具有最大動能 ${\textstyle KE_{max}}$ ，因此與它的最大速度 ${\textstyle v_{max}}$ 有以下公式關聯：

${\textstyle KE_{max}={\frac {1}{2}}m_{e}(v_{max})^{2}}$

${\textstyle \therefore hf-\phi ={\frac {1}{2}}m_{e}(v_{max})^{2}}$

${\textstyle v_{max}={\sqrt {\frac {2(hf-\phi )}{m_{e}}}}}$

其中 ${\textstyle m_{e}}$ 是電子的質量，等於 ${\textstyle 9.11\times 10^{-31}}$ kg。

波粒二象性

我們已經知道電磁輻射可以表現出波和粒子的雙重性質。1923 年，路易斯·德布羅意提出，所有物質，包括電子，都具有波粒二象性。

電子衍射

可以使用電子衍射管證明電子的波粒二象性。電子被加速穿過石墨薄片，石墨薄片充當衍射光柵，在螢幕上產生環狀圖案。這種圖案表明，電子必須發生相長干涉和相消干涉，分別形成最大值和最小值。這意味著電子必須具有相位差，這意味著它們表現得像波一樣。

由於電子發生衍射，電子的波長必須與石墨中碳原子之間的間距大小相似。

德布羅意方程

一個在空間中運動動量為 ${\textstyle p}$ 的粒子具有相關的波長 ${\textstyle \lambda }$ ，由德布羅意方程給出：

${\textstyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}}$

其中 ${\textstyle h}$ 是普朗克常數，等於 ${\textstyle 6.63\times 10^{-34}}$ Js。

這可以透過測量石墨中碳原子之間的間隙來驗證，該間隙與電子在以正確速度 ${\textstyle v}$ 運動時預測的德布羅意波長具有相似的數量級，從而導致衍射。

'推導' 德布羅意方程

德布羅意方程可以透過使用光子的能量和愛因斯坦的質能方程來'推導'。然而，這不是一個'真正'的推導，因為為了將其應用於速度不等於真空中的光速的物體，我們需要將符號從 ${\textstyle c}$ 更改為 ${\textstyle v}$ 在最後一步，這忽略了愛因斯坦的質能方程使用 ${\textstyle c}$ 作為常數。