二維逆問題/電氣網路

電氣網路 可以定義為帶邊界的加權圖 $G(V,\partial G,E,\gamma ),\partial G\subset V.$

定義在圖的邊上的權重函式稱為電導率。電氣網路的拉普拉斯矩陣是對稱的。它通常被稱為基爾霍夫矩陣。逆問題的邊界測量可以方便地用矩陣塊表示。

狄利克雷-諾伊曼對映是一種特殊的龐加萊-斯特克洛夫運算元。在帶邊界的曲面上，它是從狄利克雷邊界值（勢）到諧波函式的諾伊曼邊界值（電流）的偽微分運算元。由於狄利克雷問題的解的唯一性和存在性，它是定義良好的。

域的狄利克雷-諾伊曼運算元的定義

練習 (*)。 證明電氣網路的狄利克雷-諾伊曼對映等於其基爾霍夫矩陣的舒爾補。

$\Lambda _{G}={\begin{pmatrix}A&B\\B^{T}&C\end{pmatrix}}/(C)=A-BC^{-1}B^{T}.$

拉普拉斯方程給出了從邊界開始的隨機遊走的命中機率與諧波函式在頂點/點處的值的直接聯絡，見 [10]。這種聯絡來自於應用於網路/圖的基爾霍夫矩陣的塊的幾何級數恆等式之和 $\Lambda _{G}=D_{A}(I-W_{G})=A-B^{T}D_{C}\sum _{k}(I-D_{C}^{-1}C)^{k}B.$

這是應用於對角佔優矩陣的收斂幾何諾伊曼級數的一個特例。

電氣網路G中兩個節點之間的有效電導率等於總電流與這兩個節點之間的電位差之比。有效電導率可以用網路的基爾霍夫矩陣的舒爾補來計算。

練習 (*)。證明網路G所有邊界節點對之間的有效電導率決定了G的狄利克雷-諾伊曼對映，反之亦然。

練習 (***)。證明網路G所有節點對之間的有效電導率決定了網路G的邊的電導率，反之亦然。