二維逆問題/圖和曲面

在本書中，圖 G(V,E) 是兩個集合的配對，其中 E 是集合 V 中元素配對的子集。集合 V 中的元素稱為頂點，集合 E 中的元素稱為邊。對於 E 中的每條邊 (a,b)，我們稱 b 為 a 的鄰居。有邊界圖 是一種帶有選定邊界節點子集 ∂G 的圖。

曲面 S 是一個拓撲空間，在其每個點 p 周圍都有一個與開單位圓盤 D 同胚的開集 U

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} .\end{cases}}$

或對於邊界節點，其鄰域與單位圓盤的一半同胚

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} \cap \{z:\Im z\geq 0\},\\\phi _{U}(U\cap \partial S)=(-1,1).\end{cases}}$

簡單弧 在曲面 S 中是區間 [0,1] 到曲面同胚的對映。嵌入 圖 G(V,E) 到曲面 S 是用曲面上的不同點表示圖的頂點 V，圖的邊界在曲面的邊界上，而邊 E 用連線對應端點的簡單非相交且不接觸的簡單弧表示。

對於嵌入到曲面 S 中的圖 G，S\E 的連通分量稱為面。當面是簡單連通的（除非是無界無限面）時，嵌入是適當的。嵌入圖 G^* 稱為圖 G 的對偶，如果它的頂點位於圖 G 的不同（且全部）面中，反之亦然，並且它的邊連線具有對應相鄰面的頂點。圖 G 及其對偶 G* 的邊處於 1-to-1 對應關係中。嵌入圖及其對偶可以統一在中線圖 M(G) 的單一結構中，本書後面將定義該結構。從上下文可以清楚地知道如何稍微修改有邊界圖的定義。

可以嵌入到平面或球體中的圖稱為平面圖。