關於二維逆問題/圖形和曲面

在整本書中，一個圖形G(V,E)是由兩個集合組成的一對，其中E是集合V的元素對的子集。V的元素稱為頂點，E的元素稱為邊。對於E中的每條邊(a,b)，我們稱b為a的鄰居。一個帶邊界的圖形是一個具有選定邊界節點子集∂G的圖形。

一個曲面S是一個拓撲空間，使得在其每個點p周圍都有一個同胚於開單位圓盤D的開集U

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} .\end{cases}}$

或對於邊界節點，同胚於單位圓盤一半的鄰域

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} \cap \{z:\Im z\geq 0\},\\\phi _{U}(U\cap \partial S)=(-1,1).\end{cases}}$

曲面S中的簡單弧是區間[0,1]到曲面的同胚的像。圖形G(V,E)到曲面S的嵌入是圖形的頂點V在S的不同點上的表示，其中圖形的邊界在曲面的邊界上，邊E是透過簡單非相交且非接觸的簡單弧連線相應端點的。

對於嵌入在曲面S中的圖形G，S\E的連通分量稱為面。如果面是單連通的（除非可能是非有界的無窮大面），則嵌入是正確的。嵌入的圖形G^*稱為圖形G的對偶，如果它的頂點位於圖形G的不同（且全部）面中，反之亦然，並且它的邊連線具有對應相鄰面的頂點。圖形G及其對偶G*的邊處於1 對 1對應關係。嵌入的圖形及其對偶可以在中介圖形M(G)的單個構造中統一，該構造將在本書後面定義。從上下文中將清楚如何對帶邊界圖形的定義進行輕微修改。

可以嵌入在平面或球體中的圖形稱為平面圖形。