二維逆問題/調和函式

調和函式可以定義為微分方程和差分方程拉普拉斯方程的解，如下所示。

在具有邊界的圖的頂點上定義的函式/向量 u 是調和的，如果它在每個內部頂點 p 處的值是其在相鄰頂點處的值的平均值。也就是說，

$u(p)=\sum _{p\rightarrow q}\gamma (pq)u(q)/\sum _{p\rightarrow q}\gamma (pq).$

或者，u 滿足基爾霍夫定律，用於每個內部頂點 p 處的電勢

$\sum _{p\rightarrow q}\gamma (pq)(u(p)-u(q))=0.$

在流形 M 上的調和函式是兩次連續可微函式 u : M → R，其中 u 滿足拉普拉斯方程

$\Delta _{\gamma }u=\nabla \cdot (\gamma \nabla u)=0.$

在平面的開子集上定義的調和函式滿足以下微分方程

$(\gamma u_{x})_{x}+(\gamma u_{y})_{y}=0.$

調和函式滿足以下性質

• 均值性質

調和函式的值是其在相鄰頂點處的值的加權平均值，

• 最大值原理

推論：調和函式的最大值（和最小值）出現在圖或流形的邊界上，

• 調和共軛

可以使用柯西-黎曼方程系統

${\begin{cases}\gamma u_{x}=v_{y},\\\gamma u_{y}=-v_{x}\end{cases}}$

來定義調和共軛。

解析/調和延拓是給定調和函式的定義域的擴充套件。

在方格網上的調和/解析延拓

狄利克雷問題

調和函式最小化能量積分或求和

$\int _{\Omega }\gamma |\nabla u|^{2}{\mbox{ and }}\sum _{e=(p,q)\in E}\gamma (e)(u(p)-u(q))^{2}$

如果函式的值分別在連續模型和離散模型中固定在域或網路的邊界處。最小化函式/向量是具有指定邊界資料的狄利克雷問題的解。