在本節中，考慮圖的邊的端點可以有順序，使其成為一個有向圖。在邊上定義了正函式/向量的圖稱為加權圖。
隨機遊走是粒子在離散時間圖G上的以下過程
- 在t = 0時刻，粒子佔據G中的頂點v。
- 在t = n+1時刻，粒子移動到其在t = n時刻位置的相鄰節點，移動機率與連線/指向相鄰節點的邊的權重成正比。
選擇圖中頂點的子集作為邊界，調和測度是G頂點上的函式/向量，等於粒子從頂點p開始隨機遊走，在邊界上到達集合S中的頂點之前到達不在S中的邊界頂點的機率。
從定義可知，p處單個邊界節點b的調和測度等於從p到b的有限路徑的總和
![{\displaystyle u_{b}(p)=\sum _{p{\xrightarrow[{}]{path}}b}(\prod _{e\in path}w(e)/\prod _{q\in (path-\{b\})}\sum _{q\rightarrow r}w(qr)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789d398f890c95338a769ea4044313c10d4f70ca)
或者
![{\displaystyle u_{b}(p)=\sum _{p{\xrightarrow[{}]{path}}b}\prod _{e=(qr)\in path}{\frac {w(e)}{\sum _{q\rightarrow r}w(qr)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91fc045a10042b9d13bb0a2c478d309765fb52b)
注意，邊或頂點可能在路徑中多次出現。
布朗運動是隨機遊走的連續/極限模擬。從運算元的平均性質可以看出，粒子在布朗運動下的命中機率由上一節定義的調和函式描述。調和函式是共形不變的。
