二維逆問題/Calderon 逆問題

Calderon 提出的以下逆問題具有許多潛在的實際應用，並且在過去幾十年中受到了廣泛關注，參見 [Uh]。這是從狄利克雷-諾伊曼運算元恢復物體電導率的問題。

給定一個區域，在其上具有正可測函式，狄利克雷-諾伊曼運算元連線$\gamma$-調和函式在$H^{1}(\Omega )$中的狄利克雷和諾伊曼邊界值，定義在該區域上。它是一個一階偽微分運算元。

$\Lambda :H^{1/2}(\partial \Omega )\rightarrow H^{-1/2}(\partial \Omega )$

在 1D 中，只能恢復一個數字（電導率倒數的積分）。在高於 2 的維度中，問題是過度確定的。在這些情況下已解決 @[KV] & [SU]。

在 2D 的情況下，測量引數和未知引數的維度完全吻合。最近證明，如果電導率在一個包含可微函式的加權空間中 [N]，並且如果它是可測的並且從 0 到無窮大是有界的 [AP]，則狄利克雷-諾伊曼對映唯一地確定二維簡單連通有界區域中的電導率。

$0<1/c<\gamma <c<\infty .$

在 2D 的情況下，可以使用希爾伯特變換（本書後面定義）在調和函式的邊界值及其共軛之間，對**可測**電導率（相對於可微）的運算元進行定義（參見 [AP]）。

本書中，該問題也針對平面電網路進行了闡述，這允許透過離散化技術對逆問題進行不同的求解方法，該方法由 Druskin 等人在 Schlumberger-Doll 研究中心實施，參見 [BDK] 和 [BDMV]。