二維逆問題/Pick-Nevanlinna 插值

關於分層逆問題的一些問題可以簡化為 Pick-Nevanlinna 插值問題：給定一個函式在域 *D* 或 *C⁺* 中特定點的值，找到它的解析延拓到域的自同構。

更正式地說，如果 *z*₁, ..., *z*_*N* 和 *w*₁, ..., *w*_*N* 是單位圓盤或複數右半平面中的一組點，那麼我們尋求一個定義在整個域中的解析函式 *f*，使得

$f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} {\mbox{ or }}f:\mathbb {C} ^{+}\to \mathbb {C} ^{+}$,

並且

$f(z_{k})=w_{k},k=1,2,\dots ,N.$

函式 *f* 可以選擇一個有理 Stieltjes 連分數或 Blaschke 積，具體取決於問題中的域。插值函式存在（見 [M]）當且僅當矩陣

$\left({\frac {1-w_{k}{\overline {w_{l}}}}{1-z_{k}{\overline {z_{l}}}}}\right)_{k,l=1}^{N}{\mbox{ and }}\left({\frac {w_{k}+w_{l}}{z_{k}+z_{l}}}\right)_{k,l=1}^{N}$

分別為正半定。插值函式唯一當且僅當對應的矩陣是奇異的。如果矩陣不是奇異的，那麼將有無限多個插值連分數，其級數大於 *N*。

由於對應的網路具有相同的 Dirichle-to-Neumann 運算元，因此任何一對這樣的網路可以透過有限個 Y-Δ 變換互相轉換。中間圖沒有旋轉對稱性，這提供了一個 **對稱性破缺** 的例子。

練習 (**)。利用 Pick-Nevanlinna 插值問題的解，找到一個演算法，用於根據插值資料計算 Stieltjes 連分數的係數。