二維逆問題/兩個新的譜定理

圖及其對偶中具有以下性質的路徑的存在對圖的全域性和區域性性質之間的聯絡起著重要作用：圖及其對偶中兩個邊界節點子集之間的兩組路徑，如果路徑經過圖或其對偶的每條邊，則為哈密頓。

以下恆等式將網路及其對偶的路徑權重、網路上的電導率積分以及允許哈密頓路徑的對偶圖的拉普拉斯運算元的行列式聯絡起來。

{\frac {\det \Lambda (P,Q)}{\det \Lambda ^{*}(P^{*},Q^{*})}}=\prod _{e\in E}\gamma (e){\frac {\det(C^{*})}{\det(C)}}.

令G為嵌入到曲面上的圖，使得G的所有面都為三角形。這種嵌入稱為三角剖分。三角剖分的對偶圖G^*的頂點度為3。

練習 (***)。 將以下示例推廣以證明G^*和M(G)的譜相等，除了可能的特徵值{6}：

\sigma (G^{*})\cup \{6\}=\sigma (M(G))\cup \{6\}