二維反問題/ 無窮示例

以下構造提供了一個無窮圖的示例，其中狄利克雷-諾伊曼運算元滿足本章標題中的運算元方程。

$\Lambda (G)={\sqrt {L}}.$

運算元方程反映了無窮圖的自對偶性和自對稱性。

自對偶且自對稱的無窮圖

練習 (**). 證明具有自然邊界的圖的狄利克雷-諾伊曼運算元滿足函式方程。(提示) 使用運算元/矩陣是舒爾補的不動點的這一事實。

$\Lambda (G)={\begin{pmatrix}2I&B\\B^{T}&\Lambda +2I\end{pmatrix}}/(\Lambda +2I),$

其中

$B={\begin{pmatrix}-1&0&0&\ldots &-1\\-1&-1&0&\ldots &0\\0&\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &-1&0\\0&0&\ldots &-1&-1\\\end{pmatrix}}$

是第一差分的迴圈矩陣。