運算元代數/第一個 K 群

定義 (K1):

練習

1. 給定一個迴圈 $\gamma :[0,1]\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$，我們將其與它的繞數聯絡起來 ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{1}\operatorname {tr} (\gamma (t)^{-1}\gamma '(t))dt$
   1. 證明這個數是一個整數，並參考一維情況下的相應結果。
   2. 證明如果 $\gamma :[0,1]\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ 和 $\rho :[0,1]\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ 是迴圈，並且存在一個同倫 $H:[0,1]^{2}\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ 從 $\gamma$ 到 $\rho$ 的迴圈，並且在沿著固定迴圈移動時變化的成分中連續可微，那麼 $\gamma$ 和 $\rho$ 的繞數相等。
   3. 證明如果 $K_{1}$ 被視為一個群，那麼繞數會誘導一個群同態 $K_{1}({\mathcal {C}}(S^{1},\mathbb {C} ))\to \mathbb {Z}$.
   4. 證明這個群同態是滿射的。
   5. 證明矩陣值路徑的繞數等於其逐點行列式的繞數。