定義（字典序）:
令 ( S α , ≤ α ) α ∈ A {\displaystyle (S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}} 為預序集，其中 A {\displaystyle A} 是良序集。在 ⋃ α ∈ A {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}} ，即笛卡爾積上定義一個序關係，
命題（由偏序集匯出的字典序是偏序集）:
當 {\displaystyle }
命題（由全序集匯出的字典序是全序集）:
當 A {\displaystyle A} 是良序集，並且 ( S α , ≤ α ) α ∈ A {\displaystyle (S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}} 是全序集時， ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 上的字典序是全序。
證明： 設任意兩個元素 ( s α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}} 和 ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 為 ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 中的元素。 那麼要麼 ( s α ) α ∈ A = ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}=(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} ，要麼存在一個最小的 β ∈ A {\displaystyle \beta \in A} 使得 s β ≠ t β {\displaystyle s_{\beta }\neq t_{\beta }} 。 由於 ≤ β {\displaystyle \leq _{\beta }} 是完全的，要麼 s β < t β {\displaystyle s_{\beta }<t_{\beta }} 要麼 s β > t β {\displaystyle s_{\beta }>t_{\beta }} ，因此要麼 ( s α ) α ∈ A < ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}<(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 要麼 ( s α ) α ∈ A > ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}>(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
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