序理論/預序類和偏序類

定義（預序類）:

一個預序類是一個集合 $S$ 以及一個二元關係 $\leq \subset S\times S$，滿足以下公理

1. $\forall s\in S:s\leq s$（自反性）
2. $\forall r,s,t\in S:(s\leq r\wedge r\leq t\Rightarrow s\leq t)$（傳遞性）

定義（偏序類）:

一個偏序類（部分有序類的縮寫）是一個預序類 $(S,\leq )$，滿足以下附加公理

3. $\forall s,t\in S:s\leq t\wedge t\leq s\Rightarrow s=t$（反對稱性）

示例（冪集的子集按包含排序）:

令 $S$ 為任意集合，並令 $\sigma \subset {\mathcal {P}}(X)$。然後在 $\sigma$ 上定義的關係

$S\leq T:\Leftrightarrow S\subseteq T$

是在 $\sigma$ 上的一個序。

定義（序同態）:

設$(S,\leq )$和$(T,\preceq )$是預序類。從$(S,\leq )$到$(T,\preceq )$的序同態是一個類函式$f:S\to T$，使得對於所有的$x,y\in S$，都有$x\leq y\Rightarrow f(x)\preceq f(y)$。

定義（單調類函式）:

設$S,T$是集合，並且設$\leq _{S}$是$S$上的預序，$\leq _{T}$是$T$上的預序。一個類函式$f:S\to T$被稱為關於$\leq _{S}$和$\leq _{T}$是單調的，當且僅當$f$是從$(S,\leq _{S})$到$(T,\leq _{T})$的序同態。

定義（反單調類函式）:

設 $S,T$ 是具有預序 $\leq _{S},\leq _{T}$ 的集合。則從 $S$ 到 $T$ 的關於偏序 $\leq _{S}$ 和 $\leq _{T}$ 的**反單調類函式**是一個類函式 $f:S\to T$，使得

$x\leq _{S}y\Rightarrow f(y)\leq _{T}f(x)$.

定義（乘積序）:

設 $(S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是預序類的族。笛卡爾積 $\prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }$ 上的**乘積序**是由

$(s_{\alpha })_{\alpha \in A}\leq (t_{\alpha })_{\alpha \in A}:\Leftrightarrow \forall \alpha \in A:s_{\alpha }\leq t_{\alpha }$.