序理論/預序類和偏序類

定義（預序類）:

一個預序類是一個集合 $S$ 以及一個二元關係 $\leq \subset S\times S$ 滿足以下公理

1. $\forall s\in S:s\leq s$ （自反性）
2. $\forall r,s,t\in S:(s\leq r\wedge r\leq t\Rightarrow s\leq t)$ （傳遞性）

定義（偏序類）:

一個偏序類（部分有序類的簡稱）是一個預序類 $(S,\leq )$，滿足以下附加公理

3. $\forall s,t\in S:s\leq t\wedge t\leq s\Rightarrow s=t$ （反對稱性）

示例（冪集的子集按包含關係排序）:

令 $S$ 為任意集合，令 $\sigma \subset {\mathcal {P}}(X)$。然後，定義在 $\sigma$ 上的關係

$S\leq T:\Leftrightarrow S\subseteq T$

是 $\sigma$ 上的序。

定義（序同態）:

設 $(S,\leq )$ 和 $(T,\preceq )$ 是預序類。從 $(S,\leq )$ 到 $(T,\preceq )$ 的**序同態**是一個類函式 $f:S\to T$，使得對於所有 $x,y\in S$，都有 $x\leq y\Rightarrow f(x)\preceq f(y)$。

定義（單調類函式）:

設 $S,T$ 是集合，設 $\leq _{S}$ 是 $S$ 上的預序，而 $\leq _{T}$ 是 $T$ 上的預序。如果一個類函式 $f:S\to T$ 是從 $(S,\leq _{S})$ 到 $(T,\leq _{T})$ 的序同態，則稱該函式 $f$ 關於 $\leq _{S}$ 和 $\leq _{T}$ 是**單調**的。

定義（反單調類函式）:

令 $S,T$ 為具有預序 $\leq _{S},\leq _{T}$ 的集合。那麼，關於偏序 $\leq _{S}$ 和 $\leq _{T}$，從 $S$ 到 $T$ 的 **反單調類函式** 是一個類函式 $f:S\to T$，使得

$x\leq _{S}y\Rightarrow f(y)\leq _{T}f(x)$.

定義（乘積序）:

令 $(S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為預序類的族。直積 $\prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }$ 上的 **乘積序** 是由以下關係式給出的序：

$(s_{\alpha })_{\alpha \in A}\leq (t_{\alpha })_{\alpha \in A}:\Leftrightarrow \forall \alpha \in A:s_{\alpha }\leq t_{\alpha }$.