序理論/Grothendieck 公理

AB3、AB3*、AB5 和 AB5* 實際上是由馮·諾伊曼提出的，但 Grothendieck 的名字一直被沿用。

定義（AB3）:

如果對於所有以集合 $A$ 為索引的族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，預序類 $(S,\leq )$ 滿足第三 Grothendieck 公理 AB3，則存在一個最小上界 $\bigvee _{\alpha \in A}x_{\alpha }$。

定義（AB3*）:

如果對於所有以集合 $A$ 為索引的族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，預序類 $(S,\leq )$ 滿足對偶第三 Grothendieck 公理 AB3*，則存在一個最大下界 $\bigwedge _{\alpha \in A}x_{\alpha }$。

定義（AB5）:

如果對於所有 $(S,\leq )\in {\mathcal {B}}$ 和所有 $S$ 元素的族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，以及每個元素 $y\in S$，預序集類 ${\mathcal {B}}$ 滿足第五 Grothendieck 公理 AB5，當且僅當

$\left(\bigvee _{\alpha \in A}x_{\alpha }\right)\wedge y=\bigvee _{\alpha \in A}(x_{\alpha }\wedge y)$

定義（AB5*）:

如果對於所有 $(S,\leq )\in {\mathcal {B}}$ 和所有元素族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，其中元素屬於 $S$，並且對於每個元素 $y\in S$，都有，那麼預序集的類 ${\mathcal {B}}$ 被稱為滿足 **對偶第五個 Grothendieck 公理 AB5***。

$\left(\bigwedge _{\alpha \in A}x_{\alpha }\right)\vee y=\bigwedge _{\alpha \in A}(x_{\alpha }\vee y)$

定義 (AB6):

如果對於所有 $(S,\leq )\in {\mathcal {B}}$，那麼預序集的類 ${\mathcal {B}}$ 被稱為滿足 **第六個 Grothendieck 公理 AB6**。