定義 (全序):
一個集合 S {\displaystyle S} 上的序 ≤ {\displaystyle \leq } 被稱為 **全序** 當且僅當對於每個 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} ，以下可能性之一且僅之一成立： x < y {\displaystyle x<y} ， x = y {\displaystyle x=y} 或 x > y {\displaystyle x>y} 成立。
{{proposition|由全序誘導的序列序是全序|無論何時 A {\displaystyle A} 是一個全序集
命題 (由全序誘導的字典序是全序):
無論何時 A {\displaystyle A} 是一個良序集，並且 ( S α , ≤ α ) α ∈ A {\displaystyle (S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}} 是全序集，則在 ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 上的字典序是全序。
證明： 設任意兩個元素 ( s α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}} 和 ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 在 ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 中給出。則要麼 ( s α ) α ∈ A = ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}=(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} ，要麼存在一個最小的 β ∈ A {\displaystyle \beta \in A} 使得 s β ≠ t β {\displaystyle s_{\beta }\neq t_{\beta }} 。由於 ≤ β {\displaystyle \leq _{\beta }} 是全序的，要麼 s β < t β {\displaystyle s_{\beta }<t_{\beta }} 或 s β > t β {\displaystyle s_{\beta }>t_{\beta }} ，因此要麼 ( s α ) α ∈ A < ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}<(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 或 ( s α ) α ∈ A > ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}>(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
