材料彈性概述/各向異性響應

本節介紹線性各向異性響應。

到目前為止，我們已經開發了描述應力和應變的符號，並用$E$，$G$和$\nu$等材料引數寫出了這兩個之間的表示式。所有這些都在均質、各向同性固體的假設下。這通常是一個相當好的近似，您可能會認出這裡推導的表示式。希望本節能為您提供對固體力學以及其他材料相關主題的見解。

我們將從一個例子開始。考慮一種首先很熱然後突然淬火到低溫的脆性材料。這會導致熱衝擊和斷裂。因此，零件從$T_{max}$淬火到$T_{min}$，其中$\Delta T=T_{max}-T_{min}$.

眾所周知，熱應力為（未經證明）

$\sigma _{TH}=-{\frac {\alpha \Delta TE}{(1-2\nu )}}$           [1]

其中$\alpha$是熱膨脹係數。

它來自哪裡？我們知道這是靜水壓應力

$\sigma _{ii}={\frac {E}{1-2\nu }}\varepsilon _{kk}$

可以改寫為

$\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})$

其中

$\sigma _{m}={\frac {1}{3}}\sigma _{ii}$

那麼必須近似地認為

${\frac {1}{3}}\Delta =\alpha \Delta T$

對於半徑為$r$的球形、圓形缺陷或裂紋，能量為

$U_{TOT}=U_{o}-U_{STRAIN}+U_{SURF}$           [2]

其中 $U_{TOT}$ 是系統的總能量，而 $U_{o}$ 是無應力、無裂紋且體積為 $V_{o}$ 的系統的能量。

應變能為：

$U_{STRAIN}={\frac {V_{o}\sigma _{TH}^{2}}{2E}}-{\frac {N\sigma _{TH}^{2}}{2E}}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$           [3]

其中 $N$ 是裂紋的數量。

這來自哪裡？我們對施加正應力時的應變能表示式為：

$U_{o}^{NORMAL}={\frac {1}{2}}{\frac {\sigma _{11}^{2}}{E}}$

其中 $U_{o}^{NORMAL}$ 是單位體積的能量。

因此，方程 3 中的第一項僅僅是由於熱應變引起的能量。第二項是當 $N$ 個體積為 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ 的裂紋開啟時釋放的應變（我們減去這一項是因為應變正在釋放）。

$N\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right){\frac {\sigma _{TH}^{2}}{2E}}$

這是合理的嗎？這可能略微低估了。最後，最後一項是：

$U_{SURF}=NG_{c}\pi r^{2}$           [4]

其中 $G_{c}$ 是產生新表面的韌效能量（單位為 $J/m^{2}$）。注意，對於理想的脆性材料，$G_{c}=2\gamma$。

在本例中，使用了各向同性彈性，這在大多數情況下是對於塊狀多晶或非晶固體的合理近似。有時我們不能假設固體是各向同性的。這在處理單晶系統時最為常見，例如圖 1中的系統。觀察圖 1，即使$|P_{1}|=|P_{3}|$，沿$|P_{1}|$方向拉伸會遇到與沿$|P_{2}|$方向拉伸不同的抵抗力（胡克定律中的比例常數）。

圖 1：單晶系統的示例，其中鍵以彈簧狀方式表現。

胡克定律的各向異性表示式是張量關係

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}$           [5]

$\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\sigma _{kl}$           [6]

其中$C_{ijkl}$是剛度或彈性常數，而$S_{ijkl}$是彈性柔度。

這裡，主要關注的是$C_{ijkl}$，但兩者表現相似。彈性常數張量是將兩個二階張量連線起來的四階張量。在方程 5中，等式右側是關於$k$和$l$的雙重求和，導致求和中出現 9 項。由於有 9 個$\sigma _{ij}$的表示式，因此${\boldsymbol {C}}$中共有 81 個元素。這似乎是一個很大的數字，但它們是唯一的嗎？我們知道${\boldsymbol {\sigma }}$和${\boldsymbol {\varepsilon }}$是對稱的，因此

$\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\rightarrow C_{ijkl}=C_{jikl}$

以及

$\varepsilon _{kl}=\varepsilon _{lk}\rightarrow C_{ijkl}=C_{ijlk}$

這將彈性常數的數量從 81 個減少到 36 個唯一值。為了進一步簡化，我們必須考慮彈效能。我們知道系統的能量是

$U_{o}={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}$           [7]

圖 2：均勻彈性應力-應變曲線的示例。曲線下的面積突出顯示，表示總彈效能。

如圖 2所示。

對於均勻彈性載荷，我們可以寫成

$dU_{o}=\sigma _{ij}d\varepsilon _{ij}$           [8]

這是以下內容的疊加：

${\begin{aligned}dU_{o}&=\sigma _{11}d\varepsilon _{11}+\sigma _{12}d\varepsilon _{12}+\sigma _{13}d\varepsilon _{13}\\&+\sigma _{21}d\varepsilon _{21}+\sigma _{22}d\varepsilon _{22}+\sigma _{23}d\varepsilon _{23}\\&+\sigma _{31}d\varepsilon _{31}+\sigma _{32}d\varepsilon _{32}+\sigma _{33}d\varepsilon _{33}\end{aligned}}$           [9]

現在我們將考慮從初始狀態$\sigma =\varepsilon =0$ 開始，並對$\varepsilon _{11}$ 進行應變。這增加了內能，即儲存在鍵中的能量，增加量為

$dw_{1}=\sigma _{11}d\varepsilon _{11}=C_{1111}\varepsilon _{11}d\varepsilon _{11}$           [10]

其中$\sigma _{11}=C_{1111}\varepsilon _{11}$ 來自方程 5（除$\varepsilon _{11}$ 之外的所有應變均為零）。

對該公式進行積分

$\int _{0}^{w_{1}}dw_{1}=\int _{0}^{\varepsilon _{11}}C_{1111}\varepsilon _{11}d\varepsilon _{11}$

得出

$w_{1}={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}$           [11]

現在施加第二個應變變形$\varepsilon _{22}$，並進行積分

$\int _{0}^{w_{2}}dw_{2}=\int _{0}^{\varepsilon _{22}}\sigma _{22}d\varepsilon _{22}=\int _{0}^{\varepsilon _{22}}(C_{2222}\varepsilon _{22}+C_{2211}\varepsilon _{11})d\varepsilon _{22}$

使用公式5和所有 $\varepsilon =0$ 除了 $\varepsilon _{11}$ 和 $\varepsilon _{22}$這一事實，可得

$w_{2}={\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}^{2}+C_{2211}\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}$           [12]

那麼總功為

$w_{TOT}=w_{1}+w_{2}={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}+{\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}^{2}+C_{2211}\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}$           [13]

現在想象一下，我們反轉順序；首先施加 $\varepsilon _{22}$，然後施加 $\varepsilon _{11}$。

$w_{1}'={\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}$

$w_{2}'={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}+C_{1122}\varepsilon _{22}\varepsilon _{11}$

$w_{TOT}'={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}+{\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}^{2}+C_{1122}\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}$           [14]

線上性範圍內，疊加原理成立，因此順序無關緊要，並且

${\begin{aligned}w_{TOT}=w_{TOT}'\\\therefore C_{2211}=C_{1122}\end{aligned}}$

這可以推廣到

$C_{ijkl}=C_{klij}$

這將唯一的彈性常數數量減少到 21 個。這是任意晶體必須指定的彈性常數的最少數量。

晶體對稱性簡化

幸運的是，張量關係與晶體的對稱性相關。對於高對稱性晶體，例如立方晶體，只需要 3 個唯一值，而且還存在很多零值。可以使用以下規則來簡化符號

1. 所有 $C_{iiii}=C_{1111}$
2. 所有 $C_{iijj}=C_{1122}$
3. 所有 $C_{ijij}=C_{2323}$
4. 所有其他 $C_{ijkl}=0$ （方程式 1-3 中沒有）。

這使得情況變得簡單得多。接下來，我們將使用下面表格中描述的 Voigt 符號來簡化符號。

${\boldsymbol {ij}}$ 對	11	22	33	23	31	12
m	1	2	3	4	5	6

這通常（並非總是）在教科書和手稿中找到。在這個符號中，功為

${\begin{aligned}dw&=\sigma _{1}d\varepsilon _{1}+\sigma _{6}d\varepsilon _{6}+\sigma _{5}d\varepsilon _{5}\\&+\sigma _{6}d\varepsilon _{6}+\sigma _{2}d\varepsilon _{2}+\sigma _{4}d\varepsilon _{4}\\&+\sigma _{5}d\varepsilon _{5}+\sigma _{4}d\varepsilon _{4}+\sigma _{3}d\varepsilon _{3}\\dw&=\sigma _{1}d\varepsilon _{1}+\sigma _{2}d\varepsilon _{2}+\sigma _{3}d\varepsilon _{3}+2\sigma _{4}d\varepsilon _{4}+2\sigma _{5}d\varepsilon _{5}+2\sigma _{6}d\varepsilon _{6}\end{aligned}}$

使用 Voigt 符號，我們現在可以寫出應力-應變關係

${\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {\varepsilon }}$

將原始的 4D 格式轉換為 2D 格式。

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{16}\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{22}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{26}\\{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{33}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{36}\\{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}\\{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}\\{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}\\{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}\\{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}\\{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{matrix}}\right]$           [15]

在這種格式下，仍然可以將向量和張量 ${\boldsymbol {C}}$ 同時進行轉換。這可以進一步簡化為

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{16}\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{22}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{26}\\{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{33}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{36}\\{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}\\{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}\\{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\gamma _{4}\\\gamma _{5}\\\gamma _{6}\end{matrix}}\right]$           [16]

然而，這包含了剪下應變分量 ($\gamma$)，這意味著在這種表示中，$C$ 不是張量，而是一個矩陣。這是因為張量的旋轉特性不滿足。我們可以透過寫出 **公式 15** 中的其中一個應力來了解這兩個之間的關係

$\sigma _{1}=C_{11}\varepsilon _{1}+C_{12}\varepsilon _{2}+C_{13}\varepsilon _{3}+C_{14}\varepsilon _{4}+C_{15}\varepsilon _{5}+C_{16}\varepsilon _{6}+C_{14}\varepsilon _{4}+C_{15}\varepsilon _{5}+C_{16}\varepsilon _{6}$

$\sigma _{1}=C_{11}\varepsilon _{1}+C_{12}\varepsilon _{2}+C_{13}\varepsilon _{3}+C_{14}2\varepsilon _{4}+C_{15}2\varepsilon _{5}+C_{16}2\varepsilon _{6}$

其中 $\gamma _{4}=2\varepsilon _{4}$，$\gamma _{5}=2\varepsilon _{5}$ 以及 $\gamma _{6}=2\varepsilon _{6}$.

根據晶體對稱性進行簡化，我們可以為立方晶體寫出

$C_{ij}^{CUBIC}=\left[{\begin{matrix}{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{12}&0&0&0\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&0&0&0\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{11}&0&0&0\\0&0&0&{\text{C}}_{44}&0&0\\0&0&0&0&{\text{C}}_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\text{C}}_{44}\end{matrix}}\right]$           [17]

回到我們對應變能的定義（**公式 7**），我們可以用沃格特符號寫出

$U_{o}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\varepsilon _{i}$           [18]

我們可以將應力-應變關係（**公式 5**）寫成

$\sigma _{j}=C_{jk}\varepsilon _{k}$           [19]

這使得我們可以寫出

$U_{o}={\frac {1}{2}}C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}$           [20]

這是一個關於 $i$ 和 $j$ 的雙重求和。將 $C_{ij}^{CUBIC}$ 從 **公式 17** 代入 **公式 20**，得到

$U_{o}^{CUBIC}={\frac {1}{2}}C_{11}(\varepsilon _{1}^{2}+\varepsilon _{2}^{2}+\varepsilon _{3}^{2})+2C_{44}(\varepsilon _{4}^{2}+\varepsilon _{5}^{2}+\varepsilon _{6}^{2})+C_{12}(\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}+\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}+\varepsilon _{3}\varepsilon _{1})$           [21]

以下是立方晶體的一些有用關係式，不作證明

$C_{11}={\frac {S_{11}+S_{12}}{(S_{11}-S_{12})(S_{11}+2S_{12})}}$           [22]

$C_{12}={\frac {-S_{12}}{(S_{11}-S_{12})(S_{11}+2S_{12})}}$           [23]

$C_{44}={\frac {1}{S_{44}}}$           [24]

${\frac {1}{E}}=S_{11}-2\left[(S_{11}-S_{12})-{\frac {1}{2}}S_{44}\right](l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}n^{2})$           [25]

這裡 $l$，$m$ 和 $n$ 是從 $x_{1}$，$x_{2}$ 和 $x_{3}$ 的方向餘弦，並且是施加單軸載荷的方向。將各向異性彈性性質對映到各向同性極限，我們有

$S_{11}={\frac {1}{E}}$           [26]

$S_{12}={\frac {-\nu }{E}}$           [27]

$S_{44}={\frac {1}{G}}$           [28]

然而，對於真正各向同性的介質，只需要 2 個材料引數。我們發現

$S_{44}=2(S_{11}-S_{12})$           [29]

以及

$C_{12}=\lambda$           [30]

$C_{11}=2G+\lambda$           [31]

$C_{44}={\frac {1}{2}}(C_{11}-C_{12})$           [32]

$A={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}$           [33]

其中 $A$ 是齊納各向異性比率（對於各向同性材料，$A=1$）。