材料彈性概述/應變介紹

本節介紹應變，並展示應變張量的張量對稱性。我們還將討論應力和應變的特殊子集，包括膨脹和偏應力與應變。

平均應變

圖1：a) 線性伸長，其中$e={\frac {L'-L}{L}}$ b) 剪下變形，其中$\gamma =\tan \theta$.

在本節中，我們將重新審視應變，將其考慮在無窮小極限中，並使用張量表示法來研究其與位移的關係。當我們開始討論時，我們考察了平均應變，即線性伸長（圖1a）和剪下變形（圖1b）方面的工程應變。

無窮小應變

雖然平均應變通常檢視一個體積的應變，但我們現在將考慮彈性體上一個點的移動方式以及附近點的移動方式。

圖2：一個點上的二維應變，其中$P$ 和 $Q$ 彼此無限接近，而 $P'$ 和 $Q'$ 分別是位移。

我們將從二維開始。假設彈性體上有一個點（$P$），位於座標 $\{x_{1},\ x_{2}\}$，如圖2所示（當我們想要使用張量時，這種表示法將更方便）。如果我們使物體變形，那麼 $P$ 會被移動到 $P'$，其座標為 $\{x_{1}+u_{1},\ x_{2}+u_{2}\}$。我們稱 $\mathbf {u}$ 為位移向量。

觀察圖 2，在無限接近於$P$的點上，被稱為$Q$，座標為$\{x_{1}+dx_{1},\ x_{2}+dx_{2}\}$。當$P$被變形位移到$P'$時，$Q$也同樣被位移到$Q'$，座標為$\{x_{1}+u_{1}+dx_{1},\ x_{2}+u_{2}+dx_{2}\}$。仔細思考，物體上所經歷的位移取決於物體上的位置。因此$\mathbf {u} =u(x_{1},\ x_{2})$。這使得我們可以使用鏈式法則來表示無窮小位移。現在定義以下術語

${\begin{aligned}\operatorname {d} \!u_{1}&={\partial u_{1} \over \partial x_{1}}\operatorname {d} \!x_{1}+{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}\operatorname {d} \!x_{2}\end{aligned}}$           [3]

${\begin{aligned}\\\operatorname {d} \!u_{2}&={\partial u_{2} \over \partial x_{1}}\operatorname {d} \!x_{1}+{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}\operatorname {d} \!x_{2}\end{aligned}}$           [4]

${\begin{matrix}e_{11}&={\partial u_{1} \over \partial x_{1}}\qquad e_{12}&={\partial u_{1} \over \partial x_{2}}\\e_{21}&={\partial u_{2} \over \partial x_{1}}\qquad e_{22}&={\partial u_{2} \over \partial x_{2}}\end{matrix}}$           [5-8]

這使我們能夠使用愛因斯坦記號來表示無窮小位移。

${\begin{aligned}du_{i}=e_{ij}\ dx_{j}\end{aligned}}$           [9]

位移張量

圖 3：變形後的位移張量 $P$ 和 $Q$。

這在物理上有什麼意義？從特殊方向看更容易理解。考慮點 $P=\{x_{1},\ x_{2}\}$， $Q_{1}=\{x_{1}+dx_{1},\ x_{2}\}$ 其中 $dx_{2}=0$ 和 $Q_{2}=\{x_{1},\ x_{2}+dx\}$ 其中 $dx_{1}=0$，如圖 3 所示。然後在變形後

${\begin{aligned}P'&=\{x_{1}+u_{1},\ x_{2}+u_{2}\}\\{Q_{1}}'&=\{x_{1}+u_{1}+dx_{1}+du_{1},\ x_{2}+u_{2}+du_{2}\}\\{Q_{2}}'&=\{x_{1}+u_{1}+du_{1},\ x_{2}+u_{2}+dx_{2}+du_{2}\}\end{aligned}}$

如何理解這個公式？在 $Q_{1}$ 的情況下，我們有 $\operatorname {d} \!x_{2}=0$。因此，根據 **公式 3 & 5** 和 **公式 4 & 7** 表達的無窮小位移，我們可以推斷出 $\operatorname {d} \!u_{1}=e_{11}\operatorname {d} \!x_{1}$，以及 $\operatorname {d} \!u_{2}=e_{21}\operatorname {d} \!x_{1}$。

這告訴我們 $e_{11}$ 是 $x_{1}$ 方向上的單軸拉伸，而 $e_{21}$ 是 $Q_{1}$ 繞點 $P$ 的旋轉。類似地，在 $Q_{2}$ 的情況下，我們可以再次將 **公式 3** 與 **公式 6** 以及 **公式 4** 與 **公式 8** 組合，得到 $\operatorname {d} \!u_{1}=e_{12}\ \operatorname {d} \!x_{2}$ 和 $\operatorname {d} \!u_{2}=e_{22}\ \operatorname {d} \!x_{2}$。因此，$e_{22}$ 是 $x_{2}$ 方向上的單軸拉伸，而 $e_{12}$ 是 $Q_{2}$ 繞點 $P$ 的旋轉。這些 $\mathbf {e}$ 是我們的位移張量。

應變張量

讓我們回到 $P$，它被移動到 $P'$。$x_{i}$ 和 ${x_{i}}'$ 之間有什麼關係？

${x_{1}}'=x_{1}+u_{1}$           [10]

根據 **公式 3，5-8**

${\begin{aligned}\operatorname {d} \!u_{1}&=e_{11}\operatorname {d} \!x_{1}+e_{12}\operatorname {d} \!x_{2}\end{aligned}}$           [11]

對上述公式進行積分，得到：

${\begin{aligned}\int _{0}^{u_{1}}\operatorname {d} \!u_{1}&=e_{11}\int _{0}^{x_{1}}\operatorname {d} \!x_{1}+e_{12}\int _{0}^{x_{2}}\operatorname {d} \!x_{2}\\u_{1}&=e_{11}x_{1}+e_{12}x_{2}\\{x_{1}}'&=x_{1}+e_{11}x_{1}+e_{12}x_{2}\end{aligned}}$

上述公式可以改寫為：

${\begin{aligned}{x_{1}}'&=\left(1+e_{11}\right)x_{1}+e_{12}x_{2}\end{aligned}}$           [12]

圖 4： 位移張量 $(\mathbf {e} )$ 的視覺化表示。在這裡，位移張量 $(\mathbf {e} )$ 被分解成應變張量 $({\boldsymbol {\varepsilon }})$ 和旋轉張量 $({\boldsymbol {\omega }})$.

以類似的方式，我們也可以證明：

${\begin{aligned}{x_{2}}'=e_{21}x_{1}+(1+e_{22})x_{2}\end{aligned}}$           [13]

觀察我們的張量，我們可以看到我們的變形也包含平移和旋轉。我們對此不感興趣，因為它們不會告訴我們關於材料響應的資訊，例如膨脹（體積變化）或扭曲（形狀變化）。平移和旋轉是力學領域中稱為動力學的一部分。在這裡，我們感興趣的是小尺度彈性變形。我們的 $e_{12}\neq e_{21}$，但我們知道我們的應力張量是對稱的，因為 $\sigma _{12}=\sigma _{21}$。因此，我們可以將位移張量重寫為對稱張量和反對稱張量的組合。

$\underbrace {\left({\begin{matrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end{matrix}}\right)} _{\mathbf {e} }=\underbrace {\left({\begin{matrix}e_{11}&{1 \over 2}(e_{12}+e_{21})\\{1 \over 2}(e_{21}+e_{12})&e_{22}\end{matrix}}\right)} _{\boldsymbol {\varepsilon }}+\underbrace {\left({\begin{matrix}0&{1 \over 2}(e_{12}+e_{21})\\{1 \over 2}(e_{21}+e_{12})&0\end{matrix}}\right)} _{\boldsymbol {\omega }}$           [14]

這裡，${\boldsymbol {\varepsilon }}$ 是應變張量，${\boldsymbol {\omega }}$ 是旋轉張量。這可以在圖 4 中示意性地看到。在本文字的範圍內，我們只對 ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ 感興趣，但通常仍然值得記住位移包含剪下和旋轉成分。

${\begin{aligned}u_{i}=\varepsilon _{ij}x_{j}+\omega _{ij}x_{j}\end{aligned}}$           [15]

如果變形是無旋的，或者換句話說，應變主軸的方向不會因位移而改變，那麼 $w_{ij}=0$ 並且

$u_{i}=\varepsilon _{ij}x_{j}$           [16]

應變張量將點處的無旋位移對映到一個假想的平面，該平面的法線方向穿過該點。由於應變張量 $({\boldsymbol {\varepsilon }})$ 是一個張量，它必須以與應力張量在本文前面部分中相同的方式進行轉換。作為提醒

${\begin{aligned}{\sigma _{kl}}'&=a_{ki}\ a_{\ell j}\ \sigma _{ij}\end{aligned}}$           [17]

${\begin{aligned}{\varepsilon _{k\ell }}'&=a_{ki}\ a_{\ell j}\ \varepsilon _{ij}\end{aligned}}$           [18]

平均工程應變

請注意，當我們第一次開始研究這個主題時，我們將剪下應變定義為$\gamma =\tan \theta$，這是不對稱的。就我們的應變張量而言，這將是$\gamma _{ij}=2\varepsilon _{ij}$。（它必須旋轉回來，以便每邊都有一個角度${\textstyle {1 \over 2}\theta }$。）您可能會經常看到一個矩陣寫成

$\left({\begin{matrix}\varepsilon _{x}&\gamma _{xy}\\\gamma _{yx}&\varepsilon _{y}\end{matrix}}\right)$

有時以這種方式編寫它很有用。但是，它不是張量，因為它不像公式 17 和 18那樣變換，因為它是反對稱的。教科書通常喜歡使用這種“平均工程應變”${\textstyle (\gamma _{ij})}$，但我們在這裡除非絕對必要，否則不會使用它。

將 2D 推廣到 3D

我們在 2D 應變張量中找到的結果可以很容易地推廣到 3D，方法是在愛因斯坦記號中寫下它們，並在隱式求和中使用“3”代替“2”。公式 3 和 4是

$\operatorname {d} \!u_{j}={\partial u_{j} \over \partial x_{i}}\operatorname {d} \!x_{i}$           [19]

它在 3D 中表示 3 個方程$j=1,\ 2,\ 3$，並擴充套件為

$\operatorname {d} \!u_{j}={\partial u_{j} \over \partial x_{1}}\operatorname {d} \!{x_{1}}+{\partial u_{j} \over \partial x_{2}}\operatorname {d} \!{x_{2}}+{\partial u_{j} \over \partial x_{3}}\operatorname {d} \!{x_{3}}$

位移張量是

$e_{ij}={\partial u_{i} \over \partial x_{j}}$           [20]

應變張量是

$\varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left(e_{ij}+e_{ji}\right)$           [21]

旋轉張量是

$\omega _{ij}={1 \over 2}\left(e_{ij}-e_{ji}\right)$           [22]

這給了我們位移

$u_{i}=\varepsilon _{ij}x_{j}+\omega _{ij}x_{j}=e_{ij}x_{j}$           [23]

新的位移座標是

$x_{j}'=x_{j}+u_{j}$           [24]

現在我們已經得到了一個具有類似於應力的性質的對稱應變張量，我們可以使用與分析應力時類似的方法來檢查其他性質。對於小應變，其中 $\Delta \approx \varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}=I_{1}$，我們將平均應變定義為

${\begin{aligned}{\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33} \over 3}={\varepsilon _{kk} \over 3}=\varepsilon _{m}\end{aligned}}$

因此，

$\varepsilon _{m}\approx {\Delta \over 3}$           [25]

總應變張量可以分解為膨脹和偏應力分量

$\varepsilon _{ij}={\varepsilon _{ij}}'+\varepsilon _{m}=\left(\varepsilon _{ij}-{\Delta \over 3}\delta _{ij}\right)+{\Delta \over 3}\delta _{ij}$           [26]

以類似的方式，我們還有偏應力和靜水應力，它們類似於偏應變和膨脹應變。 靜水應力或平均應力是

$\sigma _{m}={\sigma _{kk} \over 3}={\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33} \over 3}$           [27]

因此，偏應力可以推匯出，因為

${\begin{aligned}\sigma _{ij}&={\sigma _{ij}}'+{1 \over 3}\delta _{ij}\sigma _{kk}\\{\sigma _{ij}}'&={\sigma _{ij}}+\sigma _{m}\delta _{ij}\\\\{\sigma _{ij}}'&=\left({\begin{matrix}\sigma _{11}-\sigma _{m}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}-\sigma _{m}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}-\sigma _{m}\end{matrix}}\right)\end{aligned}}$           [28-31]

${\sigma _{ij}}'$ 的主分量分解為

${\sigma _{1}}'={2 \over 3}\left({\sigma _{1}-\sigma _{2} \over 2}+{\sigma _{1}-\sigma _{3} \over 2}\right)$           [32]

並且我們知道它們只是最大剪下應力

${\sigma _{1}}'={2 \over 3}\left({\sigma _{12}}^{MAX}+{\sigma _{13}}^{MAX}\right)$           [33]

請記住，我們從以下公式中得到這個結果

$0=\left(\sigma '\right)^{3}-J_{1}\left(\sigma '\right)^{2}-J_{2}\sigma '-J_{3}$           [34]

其中

${\begin{aligned}J_{1}&=(\sigma _{11}-\sigma _{m})+(\sigma _{22}-\sigma _{m})+(\sigma _{33}-\sigma _{m})\\J_{2}&={1 \over 6}\left[\left(\sigma _{11}-\sigma _{22}\right)^{2}+\left(\sigma _{22}-\sigma _{33}\right)^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11}\right)^{2}+6\left(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)\right]\\J_{3}&=\det |{\boldsymbol {\sigma }}'|\end{aligned}}$           [35-38]