材料彈性概述/張量導論

張量導論

我們一直在研究應力，特別是研究一點處的應力以及旋轉參考系的影響。使用之前各節中的工具，可以識別主應力和參考系相對於主軸的方向，從而確定任何方向上的應力狀態。這還允許確定最大剪下力和法向力的方向和值，這對工程設計至關重要。如您所見，計算這些資訊需要大量使用方程或幾何/三角學。在本節中，將介紹張量，它為解決協調轉換提供了更優雅的方法。

我們將從思考向量開始，例如

$\mathbf {S} =\left\langle S_{1},S_{2},S_{3}\right\rangle$

該向量使用 $x_{i}$ 座標表示，但也可以相對於另一組座標表示，我們將其稱為 $x'_{i}$。方向餘弦，即兩個座標系所有軸之間的餘弦，允許我們重寫向量

$S'_{1}=S_{1}\cos \left(x_{1},x'_{1}\right)+S_{2}\cos \left(x_{2},x'_{1}\right)+S_{3}\cos \left(x_{3},x'_{1}\right)$

其中 ${\textstyle \cos \left(x_{i},x'_{j}\right)}$ 是 $x_{i}$ 和 $x'_{j}$ 之間的餘弦，可以改寫為 ${\textstyle a_{ji}=\cos \left(x_{i},x'_{j}\right)}$，它允許：

${\begin{aligned}S'_{1}=a_{11}S_{1}+a_{12}S_{2}+a_{13}S_{3}\end{aligned}}$           [1]

${\begin{aligned}S'_{2}=a_{21}S_{1}+a_{22}S_{2}+a_{23}S_{3}\end{aligned}}$           [2]

${\begin{aligned}S'_{3}=a_{31}S_{1}+a_{32}S_{2}+a_{33}S_{3}\end{aligned}}$           [3]

注意到對於角度的餘弦，$a_{ji}=a_{ij}$. 公式 1-3 可以用一種緊湊的形式寫成，稱為愛因斯坦記號

$S'_{i}=a_{ij}S_{j}$           [4]

在愛因斯坦記號中，如果一個下標在一個等式的一側出現兩次或更多次，就會進行求和。在上面的例子中，$j$ 在等式的右側出現了兩次，但 $i$ 只出現了一次。這意味著這個等式變成了

$S'_{i}=a_{ij}S_{j}=\sum _{j=1}^{3}a_{ij}S_{j}=a_{i1}S_{1}+a_{i2}S_{2}+a_{i3}S_{3}$

在這個等式中，$i$ 是一個啞變數；將值 1、2 或 3 代入 $i$ 將返回上面的等式。

這裡，$\mathbf {a}$ 是一個將兩個向量 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {S'}$ 聯絡起來的二階張量。張量是描述標量、向量和其他張量之間線性關係的幾何物件。張量的階數是指描述它所需的索引或方向的數量，它直接對應於相應陣列的維度。因此，$\mathbf {a}$ 是一個二階張量，因為它需要 $i$ 和 $j$ ($a_{ij}$) 來描述它，因此它由一個二維陣列定義。其他文字可能會將階數稱為維度或階，因為這些術語可以互換使用。下面的表格可能有助於理解階數的概念。

名稱	張量的階數/維度/階	示例
標量	零	$$(11)$$
向量	一	$\left({\begin{matrix}{25}&{32}&{11}\end{matrix}}\right)$ 或 $\left({\begin{matrix}{25}\\{32}\\{11}\end{matrix}}\right)$
矩陣	二	$$\left({\begin{matrix}{25}&{32}&{11}\\{14}&{56}&{4}\\{79}&{42}&{51}\end{matrix}}\right)$$

向量 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {S'}$ 是張量嗎？雖然向量可以是張量，但在這種情況下它們不是，因為 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {S'}$ 不會將線性空間對映到彼此。

張量常用於表示材料的內在物理性質。一個很好的例子是電導率，${\boldsymbol {\phi }}$，它是一個二階張量，表示材料中的電流密度，$\mathbf {J}$，由施加的電場，$\mathbf {E}$，引起。

$\mathbf {J} =\mathbf {\phi } \mathbf {E}$

$\mathbf {J}$ 和 $\mathbf {E}$ 都是向量，因為它們既有大小也有方向。有趣的是，$\mathbf {J}$ 中的非軸項意味著向量之間的交叉相互作用，例如，在 $x_{1}$ 方向上的電流響應受 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 方向上的電場的影響，這確實是正確的。

還有許多其他張量代表材料特性，包括熱導率、擴散率、介電常數、介電極化率、磁導率和磁化率，僅舉幾例。我們將會看到，應力和應變也是張量。應力將任意假想表面的表面法線，$\mathbf {n}$，與該點處的應力向量，$\mathbf {S}$，相關聯，正如前一節所討論的。

張量變換

表示材料性質的向量也必須能夠變換。這對座標變換很有用，座標變換本質上是旋轉。它還允許表示材料響應的張量根據晶體學對稱性進行變換。這些可以包括旋轉、映象操作和反演。由於這些變換涉及線性的單射對映，變換本身是由變換張量實現的。

在公式4中，我們透過應用變換張量 $\mathbf {a}$ 將向量 $\mathbf {S}$ 旋轉到 $\mathbf {S'}$。

$S'_{i}=a_{ij}S_{j}$

如果我們想要反轉這個呢？我們可以簡單地反轉方程

$S_{i}=a_{ji}S'_{i}$           [5]

注意這裡關於 $\mathbf {a}$ 的逆的隱含意義。因為

$a_{ji}S'_{i}=a_{ji}a_{ij}S_{j}=S_{j}$

我們有 $a_{ji}a_{ij}=I$，這意味著 $\mathbf {a}$ 的轉置產生了 $\mathbf {a}$ 的逆，寫作 $\mathbf {a^{-1}} =\mathbf {a^{T}}$.

現在考慮存在一個第二個向量，我們稱之為 $\mathbf {Q}$，它透過二階材料屬性張量 $\mathbf {T}$ 與 $\mathbf {S}$ 相關聯

$\mathbf {S} _{i}=\mathbf {T} _{ij}\mathbf {Q} _{j}$            [6]

在變換後的座標系中，我們可以將此表示為

${\mathbf {S} _{i}}'={\mathbf {T} _{ij}}'{\mathbf {Q} _{j}}'$           [7]

所以我們現在可以寫

${\begin{aligned}{\mathbf {S} _{i}}'&={\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {S} _{j}}\\&={\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {Q} _{k}}\\&=\underbrace {{\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {a} _{lk}}} _{\mathbf {T} _{i\ell }}{\mathbf {Q} _{\ell }}'\end{aligned}}$

這告訴我們，將 $x_{j}$ 轉換為 $x_{j}'$ 會導致從 $\mathbf {S}$ 到 $\mathbf {S} '$、$\mathbf {Q}$ 到 $\mathbf {Q} '$，以及 $\mathbf {T}$ 到 $\mathbf {T} '$ 的變換，其中向量變換由公式 4 & 5給出，張量變換由下式給出：

${\mathbf {T} _{i\ell }}'={\mathbf {T} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {a} _{\ell k}}$           [8]

以及

${\mathbf {T} _{i\ell }}={\mathbf {a} _{ji}}{\mathbf {T} _{jk}}'{\mathbf {a} _{k\ell }}$           [9]

注意，這些解實際上是對 $j$ 和 $k$ 的雙重求和，這是由於愛因斯坦求和約定。

由於求和順序不重要，我們可以寫成：

${\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {a} _{\ell k}}={\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {a} _{\ell k}}{\mathbf {T} _{jk}}$           [10]

這是一個張量，它將 $\mathbf {T}$ 和 $\mathbf {T} '$ 聯絡起來。由於它是一個雙重求和，所以 $\mathbf {T}$ 中的每一項都有九個元素，而將 $\mathbf {T}$ 和 $\mathbf {T} '$ 之間關係的總張量必須有 $81$ 項，因為 $(9\times 9=81)$.

張量對稱性

張量的性質由其應用決定。我們可以根據它們的對稱性對張量進行分類。

對稱張量具有如下結構：$\left[{\begin{matrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\beta _{2}\\\beta _{1}&\alpha _{2}&\beta _{3}\\\beta _{2}&\beta _{3}&\alpha _{3}\end{matrix}}\right]$，其中 $\mathbf {T} _{ij}=\mathbf {T} _{ij}$

反對稱張量具有如下結構：$\left[{\begin{matrix}0&-\alpha &-\gamma \\\alpha &0&\beta \\\gamma &\beta &0\end{matrix}}\right]$，其中 $\mathbf {T} _{ij}=-\mathbf {T} _{ij}$

請注意，反對稱張量的對角線必須為零，而整體對稱性或反對稱性取決於所選擇的參考系。任何二階張量都可以表示為對稱張量和反對稱張量的和，如：

$\mathbf {T} _{ij}=\underbrace {{1 \over 2}(\mathbf {T} _{ij}+\mathbf {T} _{ji})} _{Symmetric}+\underbrace {{1 \over 2}(\mathbf {T} _{ij}-\mathbf {T} _{ji})} _{Antisymmetric}$           [11]

我們將在下一節關於應變的討論中發現這一點很有用。同時，任何對稱張量都可以透過旋轉變換使其與主軸對齊，使得：

$\left[{\begin{matrix}{\text{T}}_{11}&0&0\\0&{\text{T}}_{22}&0\\0&0&{\text{T}}_{33}\end{matrix}}\right]$

張量的性質與它們所代表的材料的晶體對稱性密切相關。例如，假設我們有一個晶體中兩個由張量 $\mathbf {T}$ 相關的向量屬性 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {Q}$。如果我們根據晶體的對稱元素旋轉參考系，那麼

${\mathbf {T} _{ij}}'=\mathbf {T} _{ij}$

圖 1：旋轉一個簡單的立方晶體。由於對稱性，晶體將週期性地旋轉，使其實際上處於與開始時相同的方位。

我們將透過觀察像圖 1 中的簡單立方晶體來檢驗這一點。當旋轉時，此晶體將週期性地旋轉回自身，並且相關張量的性質也應該相同。透過將這種理論應用於每種可能的晶體形成，我們可以為每種晶體開發簡化的張量，這些張量代表這種對稱性。

晶體張量

晶體 形成	張量	數量 獨立的 元件
立方	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}&0&0\\0&{\text{S}}&0\\0&0&{\text{S}}\end{matrix}}\right]$$	1
四方 六方 三方	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{1}&0&0\\0&{\text{S}}_{1}&0\\0&0&{\text{S}}_{3}\end{matrix}}\right]$$	2
正交	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{1}&0&0\\0&{\text{S}}_{2}&0\\0&0&{\text{S}}_{3}\end{matrix}}\right]$$	3
單斜	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{11}&0&{\text{S}}_{13}\\0&{\text{S}}_{22}&0\\{\text{S}}_{13}&0&{\text{S}}_{33}\end{matrix}}\right]$$	4
三斜晶系	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{11}&{\text{S}}_{12}&{\text{S}}_{13}\\{\text{S}}_{21}&{\text{S}}_{22}&{\text{S}}_{23}\\{\text{S}}_{31}&{\text{S}}_{32}&{\text{T}}_{33}\end{matrix}}\right]$$	6

應力張量收縮和應力不變關係

本節討論的大部分內容都與材料性質相關，但我們這裡關注的是應力張量；一個對稱張量，因此可以排列在主軸對齊。我們現在將使用張量重新推匯出 3D 應力關係。斜面上的法嚮應力寫為：

$\sigma _{nj}=a_{ni}\sigma _{ij}$           [12]

這裡，$n$ 是斜面法線方向，是原始應力狀態。如果斜面是主方向，法嚮應力為 $\sigma _{p}$，則我們可以將方程寫為：

$\sigma _{nj}=a_{pj}\sigma _{p}$           [13]

透過組合方程式12 和 13，我們得到：

$\underbrace {a_{ni}\sigma _{ij}} _{sum\ over\ i}-a_{pj}\sigma _{p}=0$           [14]

克羅內克德爾塔

此外，還有一個方便的表示式稱為克羅內克德爾塔 $(\delta _{ij})$，它具有以下性質：

$\delta _{ij}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]={\begin{cases}1\ {\text{if}}\ i=j\\0\ {\text{if}}\ i\neq j\end{cases}}$

當應用於張量時，克羅內克德爾塔被稱為“收縮”張量的秩，使其降低兩個。這會將一個四階張量轉換為二階張量，三階張量轉換為一階張量，等等。出於本文的目的，我們不會經常使用這個表示式，但在將其應用於**方程** **14** ${\textstyle (a_{ni}\sigma _{ij}-a_{pj}\sigma _{p}=0)}$時，我們可以用二階張量的收縮來替換標量$a_{pj}$，使得：

$a_{pj}=\mathbf {a} _{pi}\delta _{ji}$

這裡的收縮規則是將$i$替換為$j$，並移除克羅內克德爾塔項。

回到**方程** **14**，我們將$a_{pj}$替換為我們的克羅內克德爾塔展開，得到：

$a_{ni}\sigma _{ij}-\sigma _{p}a_{pi}\delta _{ji}=0$           **[15]**

這個方程可以完全對$i$求和，並且因為$p$垂直於平面，這使得$a_{ni}$等於$a_{pi}$，我們的方程演變成：

$(\sigma _{ij}-\sigma _{p}\delta _{ji})a_{pi}=0$           **[16]**

這給了我們一組三個方程，其中$j=1,2,3$。透過將方向餘弦代入左項，並使用$a_{p1}=\ell$，$a_{p2}=m$，$a_{p3}=n$和$\delta _{ji}=0$當$j\neq i$時，我們可以透過取以下行列式來求解非平凡（非零）解：

$|\sigma _{ij}-\sigma _{p}\delta _{ji}|=\left|{\begin{matrix}\sigma _{x}-\sigma _{p}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}-\sigma _{p}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}-\sigma _{p}\end{matrix}}\right|=0$

這與之前的結果相同。

三個不變數

我們還確定了不變數關係。需要注意的是，這些關係也可以從應力張量中得到。首先，讓我們對${\boldsymbol {\sigma }}$進行收縮：

${\boldsymbol {\sigma }}_{ij}\delta _{ij}=\sigma _{ii}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}={\text{I}}_{1}$

這是我們的第一個不變數。第二個不變數來自${\boldsymbol {\sigma }}$的子式，可以用來展開行列式。

${\text{I}}_{2}=\left|{\begin{matrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{matrix}}\right|$

第三個不變數是${\boldsymbol {\sigma }}$的行列式，其中${\text{I}}_{3}=\det[{\boldsymbol {\sigma }}]$.