材料彈性概述/各向同性響應

本節介紹線性各向同性響應。

我們現在瞭解張量關係，並已經建立了彈性所需的兩個張量；${\boldsymbol {\sigma }}$ 和 ${\boldsymbol {\varepsilon }}$。在本章中，我們將學習如何將它們相互關聯。在本節中，我們將開始研究各向同性彈性中的彈性，其中我們假設所有方向都具有相同的材料響應。

彈性模量

在前面的部分中，我們瞭解到胡克定律可以將單軸載荷與單軸應變聯絡起來

$\sigma _{11}=E\ \varepsilon _{11}$           [1]

這裡，$E$ 是彈性模量。注意，我們任意選擇了$x_{1}$ 方向。它可以很容易地是 $x_{2}$ 或 $x_{3}$，或該晶體中的任何其他方向，並發現相同的材料響應，$E$。這就是使用各向同性固體帶來的結果。

泊松比

當我們在 $x_{1}$ 方向施加應力時，在橫向方向 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 也會自然收縮。這被稱為泊松比，$\nu$。

$\varepsilon _{22}=\varepsilon _{33}=-\nu \varepsilon _{11}=-{\nu \ \sigma _{11} \over E}$           [2]

對於完全不可壓縮的材料，這意味著它保持體積，泊松比將為 0.50。但是，大多數真實材料，如普通金屬，的泊松比約為 0.33。

對於線性彈性、各向同性材料，正應力不會引起剪下應變，剪下應力不會引起正應力。線上性彈性中，應變的各種貢獻可以疊加。我們可以使用上述兩個彈性模量和泊松比方程來確定，如果施加三軸正應力，則應變將為

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{22} \over E}-{\nu \sigma _{33} \over E}\quad {\begin{cases}\varepsilon _{11}&={1 \over E}\left[\sigma _{11}-\nu \left(\sigma _{22}\sigma _{33}\right)\right]\\\varepsilon _{22}&={1 \over E}\left[\sigma _{22}-\nu \left(\sigma _{33}\sigma _{11}\right)\right]\\\varepsilon _{33}&={1 \over E}\left[\sigma _{33}-\nu \left(\sigma _{11}\sigma _{22}\right)\right]\end{cases}}\end{aligned}}$           [3-5]

轉到剪下關係，剪下應力和應變由剪下模量相關聯，$G$.

$\sigma _{12}=G\gamma _{12}=G2\varepsilon _{12}$           [6]

同樣，由於各向同性特性，此關係也適用於所有其他方向。這三個比例常數足以描述各向同性的線性響應。它們具有典型值（對於常見的工程金屬）

${\begin{aligned}50<\ &E<200\quad GPa\\25<\ &G<75\quad GPa\\0.25<\ &\nu <0.35\end{aligned}}$

這裡將總結許多其他有用的關係。體積模量，$K$，是靜水壓力與其產生的膨脹之比

${\textstyle K={-p \over \Delta }={\sigma _{m} \over \Delta }={1 \over \beta }}$           [7]

其中${\textstyle -p}$是靜水壓力，而$\beta$是壓縮率。

將方程 3-5中的三軸法嚮應變加在一起，我們得到

${\begin{aligned}\underbrace {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}} _{\Delta }&={1-2\nu \over E}(\underbrace {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}} _{3\sigma _{m}})\\\Delta &={1-2\nu \over E}3\sigma _{m}\end{aligned}}$           [8]

將此應用於公式 7 和 8 以獲得塊模量，結果為

$K={\sigma _{m} \over \Delta }={E \over 3(1-2\nu )}$           [9]

接下來的解沒有給出證明，因為展示這些關係需要用到一些高階主題。

$G={E \over 2(1+\nu )}$           [10]

$E={9K \over 1+3K/G}$           [11]

$\nu ={1-2G/3K \over 2+2G/3K}$           [12]

$G={3(1-2\nu )K \over 2(1+\nu )}$           [13]

$K={E \over 9-3E/G}$           [14]

應力-應變關係可以用緊湊的張量符號表示

$\varepsilon _{ij}={1+\nu \over E}\sigma _{ij}-{\nu \over E}\sigma _{kk}\delta _{ij}$           [15]

具體來說，看一下正應變，例如 $\varepsilon _{22}$

$\varepsilon _{22}={1+\nu \over E}\sigma _{22}-{\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\delta _{22}$

類似地，對於剪下應變 $\varepsilon _{12}$，我們得到

$\varepsilon _{12}={1+\nu \over E}\sigma _{12}-{\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\delta _{12}$

從 ${\textstyle G={E \over 2(1+\nu )}}$，我們可以發現

${\begin{aligned}{1+\nu \over E}&={1 \over 2G}\\\varepsilon _{12}&={1 \over 2G}\ \sigma _{12}\\\sigma _{12}&=2G\ \varepsilon _{12}\end{aligned}}$

對於給定的應力狀態

${\boldsymbol {\sigma }}=\left({\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right)$

我們只能將應變張量寫成

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\left({\begin{matrix}{1 \over E}(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}))&{\sigma _{12} \over 2G}&{\sigma _{13} \over 2G}\\{\sigma _{12} \over 2G}&{1 \over E}(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{33}+\sigma _{11}))&{\sigma _{23} \over 2G}\\{\sigma _{13} \over 2G}&{\sigma _{23} \over 2G}&{1 \over E}(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}))\end{matrix}}\right)$           [16]

因此，我們得到了一個用施載入荷（即應力）來表示應變的表示式。這對於預測應用中載入時產生的變形當然很有用。我們感興趣的還有另一種應用。假設我們對零件進行了變形，那麼它會感受到多少應力？這可以回答諸如“在達到屈服強度之前，我能夠彎曲這個零件多少？”之類的問 題。基本上，我們希望對現有解決方案進行反轉。

為了做到這一點，我們可以將第一個三軸應變方程（即**方程 3**）進行重新排列

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{22} \over E}-{\nu \sigma _{33} \over E}\\&\quad +0={\nu \sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{11} \over E}\\&={\sigma _{11} \over E}+{\nu \sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{22} \over E}-{\nu \sigma _{33} \over E}\end{aligned}}$

我們最終得到

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1+\nu \over E}\sigma _{11}-{\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\end{aligned}}$           [17]

我們還可以採用我們之前關於 $\Delta$ 的方程，即公式 8，並對其進行重新排列，得到

${\begin{aligned}\Delta &={1-2\nu \over E}3\sigma _{m}\\\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}&={1-2\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\end{aligned}}$

以及

$\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}={E \over 1-2\nu }(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})$           [18]

然後，將公式 18代入公式 17，我們得到

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1+\nu \over E}\sigma _{11}-{\nu \over E}\left({E \over 1+2\nu }(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\right)\\\sigma _{11}&=\varepsilon _{11}\left({E \over 1+\nu }\right)+{E \over 1+\nu }{\nu \over E}{E \over 1-2\nu }(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\end{aligned}}$

這將變成

${\begin{aligned}\sigma _{11}&=\left({E \over 1+\nu }\right)\varepsilon _{11}+{\nu E \over (1+\nu )(1-2\nu )}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\end{aligned}}$           [19]

考慮剪下應力則更簡單

${\begin{aligned}\sigma _{12}&=2G\ \varepsilon _{12}\end{aligned}}$

將公式 10代入，得到

${\begin{aligned}\sigma _{12}&=2\ {E \over 2(1+\nu )}\ \varepsilon _{12}\end{aligned}}$

這將變成

${\begin{aligned}\sigma _{12}&=\left({E \over 1+\nu }\right)\varepsilon _{12}\end{aligned}}$           [20]

將公式 19 和 20 結合起來，我們可以得到應力關於應變的張量表達式，即

$\sigma _{ij}={E \over 1+\nu }\varepsilon _{ij}+\underbrace {\nu E \over (1+\nu )(1-2\nu )} _{\lambda }\varepsilon _{kk}\delta _{ij}$           [21]

這裡，$\lambda$ 是拉梅常數。我們可以分析這些結果並提取有用的方程。我們將從提取應力的偏應力和靜水壓力分量開始。

$\sigma _{ij}'=2G\ \varepsilon _{ij}'$           [22]

我們可以透過考慮剪下和法向分量來證明這一點。

剪下

$\sigma _{12}'=\sigma _{12}={E \over (1+\nu )}\varepsilon _{12}=2G\ \varepsilon _{12}=2G\ \varepsilon _{12}'$

法向

${\begin{aligned}\sigma _{11}'&={2\sigma _{22}-\sigma _{22}-\sigma _{33} \over 3}\\&={1 \over 3}\left[2\ (2G\varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{33})-(2G\varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{33})-(2G\varepsilon _{33}+\lambda \varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{33})\right]\\&={1 \over 3}(4G\varepsilon _{11}-2G\varepsilon _{22}-2G\varepsilon _{33})\\&=2G{2\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22}-\varepsilon _{33} \over 3}\\&=2G\varepsilon _{11}'\end{aligned}}$

靜水壓力和平均應變之間的關係是

$\sigma _{ii}={E \over 1-2\nu }\varepsilon _{kk}=3K\varepsilon _{kk}$           [23]

請注意，我們之前已經多次見過這個表示式！

簡化情況

平面應力 $\sigma _{33}=0$.

再次觀察我們之前的三軸應變方程，即公式 3 和 4，我們首先將前兩個加在一起

${{\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1 \over E}[\sigma _{11}-\nu \sigma _{22}]={1 \over E}\sigma _{11}-{\nu \over E}\sigma _{22}\\+\nu (\varepsilon _{22}&={1 \over E}[\sigma _{22}-\nu \sigma _{11}]=-{\nu \over E}\sigma _{11}+{1 \over E}\sigma _{22})\end{aligned}} \over \varepsilon _{11}+\nu \varepsilon _{22}=\left({1 \over E}-{\nu ^{2} \over E}\right)\sigma _{11}}{\begin{aligned}\\\\\rightarrow \sigma _{11}&={E \over 1-\nu ^{2}}(\varepsilon _{11}+\nu \varepsilon _{22})\\\sigma _{22}&={E \over 1-\nu ^{2}}(\varepsilon _{22}+\nu \varepsilon _{11})\end{aligned}}$

平面應力通常出現在負載薄板中，更常見的是壓力容器中。

另一個簡化是平面應變，其中 $\varepsilon _{33}=0$，通常發生在一個維度遠大於另外兩個維度的情況，因此 $\varepsilon _{11}$ 和 $\varepsilon _{22}$ 遠大於 $\varepsilon _{33}$，例如一根長杆，其中沿著杆長度的應變受到約束。在此，公式 5 重排為

${\begin{aligned}\varepsilon _{33}&={1 \over E}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]=0\\\sigma _{33}&=\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\end{aligned}}$

請注意，即使 $\varepsilon _{33}$ 等於零， $\sigma _{33}$ 並不等於零。將此 $\sigma _{33}$ 方程代入公式 3-5 中，得到：

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1 \over E}\left[(1-\nu ^{2})\sigma _{22}-\nu (1+\nu )\sigma _{11}\right]\\\varepsilon _{22}&={1 \over E}\left[(1-\nu ^{2})\sigma _{22}-\nu (1+\nu )\sigma _{11}\right]\end{aligned}}$