並行譜數值方法/有限精度算術

有關此內容的更多資訊，請參閱數值方法教科書，例如 Bradie。由於計算機具有固定數量的記憶體，浮點數只能用有限的數字精度儲存。這限制了在有限時間內可以獲得的數值問題解的精度。大多數計算機使用二進位制 IEEE 754 算術來執行數值計算。還有其他格式，但這是對我們最相關的格式。

練習

1) 從 http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=2355 下載最新的 IEEE 754 標準，另請參閱 http://grouper.ieee.org/groups/754/ -- 不幸的是，官方標準的連結需要 IEEE 會員資格或訂閱。如果您沒有這些，請參閱維基百科頁面 http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 以獲取您回答以下問題所需的資訊。(這些連結截至 2012 年 4 月 1 日是正確的，如果它們不再活動，我們預計可以透過搜尋引擎或參考數值分析教科書（如 Bradie）來獲取這些資訊。)

a) 在此標準中，數字在以下方面的精度範圍是什麼？

i) 單精度

ii) 雙精度

b) 標準對四精度指定了什麼？

c) 標準對如何計算基本函式指定了什麼？這對程式的可移植性有什麼影響？

2) 假設我們離散化了一個函式，該函式的範圍為 $x\in [-1,1]$。對於 $\epsilon$ 的哪些值，以下公式成立？

$\epsilon \log \left(\cosh \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\right)=\lVert x\rVert$

在

i) 單精度？

ii) 雙精度？

3) 假設我們離散化了一個函式，該函式的範圍為 $x\in [-1,1]$。對於 $\epsilon$ 的哪些值，以下公式成立？

$\tanh \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)={\begin{cases}1\quad x\geq 0\\-1\quad x<0\end{cases}}$

在

i) 單精度？

ii) 雙精度？

4)

a) IEEE 754 規範中可以儲存的最大 4 位元組整數的大小是多少？

b) 假設您正在進行一個使用 $N^{3}$ 個網格點進行模擬，並且需要計算 $N^{3}$。如果 $N$ 儲存為 4 位元組整數，那麼 $N$ 的最大值是多少，以便 $N^{3}$ 也可以儲存為 4 位元組整數？

參考文獻

Bradie, B. (2006). A Friendly Introduction to Numerical Analysis. Pearson.

https://wikibook.tw/wiki/Floating_Point