並行譜數值方法/變數分離

變數分離是一種可以用來求解常微分方程和偏微分方程的技術。對於兩個變數的方程，基本思想是將方程改寫，使得兩個變數分別位於等號的兩側，並且由於等號兩側分別依賴於不同的變數，因此兩側必須等於一個常數。我們用簡單的的一階線性常微分方程來介紹這個思想

${dy \over dt}=y.$

( 1)

只要對於任何 $t$ 的值，$y(t)\neq 0$，我們可以形式上分離變數並改寫公式 1 為

${dy \over y}=dt.$

( 2)

現在我們可以透過對兩邊積分來求解 $y(t)$

$\int {dy \over y}=\int dt$

( 3)

$lny+a=t+b$

( 4)

$e^{lny+a}=e^{t+b}$

( 5)

$e^{lny}e^{a}=e^{t}e^{b}$

( 6)

$y={e^{b} \over e^{a}}e^{t}$

( 7)

$y(t)=ce^{t}.$

( 8)

其中 $a,b,$ 和 $c$ 是積分的任意常數。

我們現在對線性偏微分方程進行類似的例子。熱

方程是

$u_{t}=u_{xx}.$

( 9)

我們假設 $u=X(x)T(t)$，因此我們得到

$X(x){dT \over dt}(t)={d^{2}X \over dx^{2}}(x)T(t).$

( 10)

我們可以改寫為

${{dT \over dt}(t) \over T(t)}={{d^{2}X \over dx^{2}}(x) \over X(x)}=-C,$

( 11)

其中 $C$ 是一個與 $x$ 和 $t$ 無關的常數。兩邊可以分別積分得到 $T(t)=exp(-Ct)$ 和 $X(x)=sin({\sqrt {C}}x)$ 或 $X(x)=cos({\sqrt {C}}x).$ 由於熱方程是線性的，因此可以將不同的熱方程解加在一起，仍然得到熱方程的解。因此，熱方程的解可以透過

$\sum _{n}\alpha _{n}|exp(-C_{n}t)sin({\sqrt {C_{n}}}x)+\beta _{n}exp(-C_{n}t)cos({\sqrt {C_{n}}}x)$

( 12)

其中常數 $\alpha _{n},\beta _{n}$ 和 $C_{n}$ 經過適當選擇。這些級數收斂到實際解的問題在分析數學課程中進行研究（例如，參見 Evans 或 Renardy 和 Rogers），但選擇常數 $\alpha _{n},\beta _{n}$ 和 $C_{n}$，以及如何構造這些解，通常是在微積分課程的最後或微分方程課程的開頭遇到，例如參見 Courant 和 John 或 Boyce 和 DiPrima。這裡，我們考慮 $x\in [0,2\pi ]$ 的情況，我們具有周期性邊界條件。在這種情況下，${\sqrt {C_{n}}}$ 必須是整數，我們選擇為非負數以避免冗餘。在時間 $t=0$，我們假設初始條件由

$u(x,t=0)=f(x).$

( 13)

現在，

$\int _{0}^{2\pi }sin(nx)sin(mx)={\begin{cases}\pi \qquad m=n\\\qquad \qquad \qquad ,\\0\qquad m\neq n\end{cases}}$

( 14)

$\int _{0}^{2\pi }cos(nx)cos(mx)={\begin{cases}\pi \qquad m=n\\\qquad \qquad \qquad ,\\0\qquad m\neq n\end{cases}}$

( 15)

以及

$\int _{0}^{2\pi }cos(nx)sin(mx)=0$

( 16)

因此，我們可以將三角多項式視為正交向量。可以證明，這些三角多項式的總和可以用來近似區間 $[0,2\pi ]$ 上的一大類週期函式；對於行為良好的函式，這種總和中只需要前幾項就能獲得高精度近似。因此，我們可以將初始條件展開成三角函式的總和，

$f(x)=\sum _{n}\alpha _{n}sin({\sqrt {C_{n}}}x)+\beta _{n}cos({\sqrt {C_{n}}}x)$

( 17)

將上述等式乘以 $sin({\sqrt {C_{n}}}x)$ 或 $cos({\sqrt {C_{n}}}x)$，並利用函式的正交性，我們推匯出

$\alpha _{n}={\frac {\int _{0}^{2\pi }f(x)sin({\sqrt {C_{n}}}x)}{\int _{0}^{2\pi }sin^{2}({\sqrt {C_{n}}}x)dx}}$

( 18)

以及

$\beta _{n}={\frac {\int _{0}^{2\pi }f(x)cos({\sqrt {C_{n}}}x)}{\int _{0}^{2\pi }cos^{2}({\sqrt {C_{n}}}x)dx}}$

( 19)

大多數具有實際意義的常微分方程和偏微分方程不可分離。但是，變數分離背後的思想可以用來尋找一大類偏微分方程的級數解。這些級數解也可以用數值方法找到，這也是我們用來尋找偏微分方程的近似解的方法，因此，這個簡單例子背後的思想非常有用。

練習

1) 解常微分方程

$u_{t}=u(u-1)$

$u(t=0)=0.8$

使用變數分離。

2)

a) 使用變數分離解偏微分方程

$u_{tt}=u_{xx}$

其中

$u(x=0,t)=u(x=2\pi ,t),$

$u(x;t=0)=sin(6x)+cos(4x)$

以及

$u_{t}(x,t=0)=0.$

b) 在不同的時間點繪製您的解決方案圖，或者建立您找到的解決方案的動畫。

c) 用於尋找初始條件傅立葉級數展開中係數的過程可能變得非常繁瑣/難以處理。考慮初始條件 $u(x,t=0)=exp(sin(x))$。解釋一下為什麼手工計算這個條件的傅立葉係數會很困難。另外解釋一下為什麼擁有一個能夠為你完成這個任務的演算法或計算機程式會很有幫助。

參考資料

Boyce, W.E.; DiPrima, R.C. (2010). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |lnguage= (help)

Courant, R.; John, F. (1998). Introduction to Calculus and Analysis. Vol. I. Springer.

Courant, R.; John, F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis. Vol. II. Springer.

Evans, L.C. (2010). Partial Differential Equations. American Mathematical Society.

Rogers, R.C. (2004). An Introduction to Partial Differential Equations. Springer.