工程師與科學家進階數學/變數變換

變數變換

與常微分方程 (ODE) 一樣，偏微分方程 (PDE，更準確地說，初始邊界值問題 (IBVP) 作為一個整體) 可以透過某種變數修改來變得更容易處理。到目前為止，我們只處理過在邊界上指定流體速度值 u 為零的邊界條件。儘管流體力學可以比這更復雜（千禧年最輕描淡寫的陳述），但為了多樣性，我們現在來看一下熱傳遞。

如前所述，一維擴散方程也可以描述一維熱流。想象一下熱量如何在一維中流動：一種可能性是完全橫向絕緣的杆，因此熱量只沿杆流動而不橫跨杆（但請注意，可以在不進入二維的情況下考慮沿杆的熱量損失/增益）。

如果這根杆具有有限長度，熱量可以從未絕緣的端部進出。一根一維杆最多可以有兩個端部（也可以有一個或零個：杆可以建模為“非常長”），邊界條件可以指定這些端部發生了什麼。例如，可以在邊界處指定溫度，或者可能是熱流，或者可能是兩者結合。

熱流方程通常寫成

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

這與平行板流動方程相同，只是將 ν 替換為 α，將 y 替換為 x。

邊界固定溫度

讓我們考慮一根長度為 1 的杆，其邊界處指定了溫度（固定）。IBVP 為

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

φ(x) 是 t = 0 時的溫度。看一下 BC 說的是什麼：對於所有時間，x = 0 處的溫度是 u₀，x = 1 處的溫度是 u₁。請注意，這同樣可以是平行板問題：u₀ 和 u₁ 會代表壁面速度。

PDE 很容易分離，基本上與前幾章相同

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(X(x)T(t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x)T(t))\,$

$X(x){\frac {\partial }{\partial t}}(T(t))=\alpha T(t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x))\,$

${\displaystyle X(x)T'(t)=\alpha T(t)X''(x)\,$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}\,$

${\Big \Downarrow }$${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\,$

${\Big \Downarrow }$${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}=-k^{2}\Rightarrow T'(t)=-k^{2}\alpha T(t)\Rightarrow T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}\,$

${\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\Rightarrow X''(x)=-k^{2}X(x)\Rightarrow X(x)=C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx)\,$

${\Big \Downarrow }$$u(x,t)=X(x)T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}(C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx))$

$u(x,t)=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(kx)+B\sin(kx))$

現在，代入邊界條件

$u_{0}=u(0,t)\,$

$u_{0}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 0)+B\sin(k\cdot 0))\,$

$u_{0}=Ae^{-k^{2}\alpha t}\,$

$u_{1}=u(1,t)\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 1)+B\sin(k\cdot 1))\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k)+B\sin(k))\,$

我們無法繼續。 除了其他問題，指數因子中出現 *t* （之前除掉了）會阻止任何東西從這裡出來。

這是另一個例子，說明假設 *u*( *x*, *t* ) = *X*( *x* )*T*( *t* ) 是錯誤的。 阻止我們得到解決方案的唯一原因是 非零邊界條件。 這就是改變變數有幫助的地方：一個新的變數 *v*( *x*, *t* ) 將根據 *u* 定義，它將是可分離的。

想想如何定義 *v*( *x*, *t* ) 使其邊界條件為零（“齊次”）。 一種方法是

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

這種形式的靈感來自邊界條件的外觀，可以很容易地看到

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

${\Big \Downarrow }$$v(0,t)+h(0)=u_{0}\,$

$v(1,t)+h(1)=u_{1}\,$

如果 *h*( 0 ) = *u*₀ 且 *h*( 1 ) = *u*₁，則 *v*( *x*, *t* ) 確實具有零邊界條件。 幾乎任何滿足這些條件的 *h*( *x* ) 的選擇都可以做到這一點，但只有一個是最佳選擇。 將替換代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(x,t)+h(x))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(v(x,t)+h(x))\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

所以現在偏微分方程已經被涉及 *h* 的新項弄亂了。 這將阻止分離......

......除非最後一項恰好為零。 而不是希望它為零，我們可以要求它（上面暗示的最佳選擇），並將其他要求 *h*( *x* ) 放在它旁邊

${\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}=0\,$

$h(0)=u_{0}\,$

$h(1)=u_{1}\,$

注意，偏導數變成了普通導數，因為 *h* 只是 *x* 的函式。 以上構成了一個非常簡單的邊值問題，具有唯一解

$h(x)=(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

它只是一條直線。 注意，這是 *u*( *x* ) 求解穩態（時間無關）問題時會出現的情況。 換句話說，僅僅觀察情況的物理特性，就可以很容易地從某人的屁股中拉出 *h*。

問題現在簡化為求解 *v*( *x*, *t* )。 它的 IBVP 將是

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\,$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x)=\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

請注意，初始條件在轉換下發生了變化。此 IBVP 的解在之前的章節中透過變數分離和疊加找到，結果為

$v(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0}))\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

現在可以根據變數變化的定義，簡單地新增 h(x) 來找到 u(x, t)

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-h(x))\ dx\cdot \sin(n\pi x)+(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

此解看起來像是穩態部分 (即 h(x)) 和瞬態部分 (即 v(x)) 的總和

變數變化的視覺化。

邊界處的時變溫度

請注意，這在非恆定邊界條件下無法很好地使用。例如，如果 IBVP 為

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}(t)\,$

$u(1,t)=u_{1}(t)\,$

那麼，轉換它將需要 h = h(x, t)。重複使用之前介紹的 u(x, t) = v(x, t) + h(x, t) 最終將導致

${\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,}$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x,0)\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

其中，為了簡化上述偏微分方程

${\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

$h(x,0)={\mbox{anything}}\,$

$h(0,t)=u_{0}(t)\,$

$h(1,t)=u_{1}(t)\,$

雖然在初始條件的選擇上有一定的自由度，但這並沒有真正簡化任何東西。

但這並非完全無用。請注意，選擇h的偏微分方程是為了簡化v(x, t)的偏微分方程（會導致涉及h的項抵消），這可能會引發一個問題：這有必要嗎？

答案是否定的。如果是這樣，我們為h選擇的偏微分方程將無法滿足，這會導致v(x, t)的偏微分方程中出現額外的項。然而，v(x, t)的不再可分離的初邊值問題可以透過特徵函式展開來求解，其完整過程將在稍後介紹。值得注意的是，特徵函式展開需要齊次邊界條件，因此變換是必要的。

因此，現在我們必須暫時擱置這個問題，沒有結論。我已經告訴過你，邊界條件會搞亂一切。

壓力驅動的瞬態平行板流動

現在回到流體力學。之前，我們處理的是初始時處於運動狀態，但由於阻力和驅動力的缺失而逐漸減速的流動。也許，如果我們有一個初始處於靜止狀態（即零初始條件）但由某個恆定壓差驅動而開始運動的流體，情況會更有趣。這種情況下，初邊值問題將是

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$u(y,0)=0\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

之前已經描述過包含壓強項的這個偏微分方程。壓強項是驅動流動的因素；假設它是恆定的。

變數變換的目的是從偏微分方程中去除壓強項（這會阻止分離），同時保持邊界條件齊次。

一個途徑是向u(x, t)新增一些東西，可以是t的函式，也可以是y的函式，這樣微分後會留下一個常數，可以抵消壓強項。新增t的函式將非常不利，因為它會導致時間相關的邊界條件，因此讓我們嘗試y的函式

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

將此代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(y,t)+f(y))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(v(y,t)+f(y))-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

此過程僅當以下條件成立時，才能簡化 PDE 並保留邊界條件。

$0=\nu {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$f(0)=0\,$

$f(1)=0\,$

第一個條件，一個常微分方程，是簡化 _v_(_y_, _t_) 的 PDE 所必需的，它將導致最後兩項的抵消。另外兩個條件是為了保留問題的齊次邊界條件（注意，如果 _u_(_y_, _t_) 的邊界條件不是齊次的，則需要選擇 _f_(_y_) 上的邊界條件來修正這一點）。

上述邊值問題的解很簡單。

$f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,$

因此，_f_(_y_) 已成功確定。注意，此函式關於 _y_ = 1/2 對稱。_v_(_y_, _t_) 的初邊值問題變為

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\,$

$v(y,0)=-f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

這與我們一直反覆討論的初邊值問題相同。_v_(_y_, _t_) 的解為

$v(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)\,$

而 _u_(_y_, _t_) 的解來自變數變化的定義方式。

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

$u(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)+{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,}$

$u(y,t)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)-{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\cdot {\frac {4(-1)^{n}-4}{n^{3}\pi ^{3}}}\sin(n\pi y)\,$

此解符合我們的預期：它從平坦開始並迅速逼近拋物線形狀。這與現實初始條件一章中推匯出的穩態流的拋物線相同；積分針對整數n進行了計算，從而簡化了它。

仔細觀察解可以發現有趣的一點：這僅僅是衰減的平行板流動“反向”。流動不是從拋物線開始並逐漸逼近u = 0，而是從u = 0開始並逐漸逼近拋物線。

時間相關的擴散率

在本例中，我們將改變時間，一個自變數，而不是改變因變數。考慮以下 IBVP

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

請注意，這是一個可分離的方程；變換並不是必需的，但它會更容易，因為如果它能轉化成我們熟悉的形式，我們可以重複使用之前的解。

讓我們不要涉及這個方程的物理意義，只是把它看作一個擴散問題。它可能是動量的擴散（如流體力學），熱量的擴散（傳熱學），化學物質的擴散（化學），或者僅僅是一個數學家的玩具。換句話說，這只是一個為了舉例而專門編造的例子。

二階導數前面的（時間相關的）因子被稱為擴散率。之前，它是一個常數 α（稱為“熱擴散率”）或常數 ν（“運動粘度”）。現在，它隨時間衰減。

為了透過變換簡化 PDE，我們尋找使該因子抵消的方法。一種方法是定義一個新的時間變數，稱為 τ，並使其與t的關係保持任意性。鏈式法則得出

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}\,$

將此代入偏微分方程

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

現在請注意，如果

${\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}\Rightarrow \tau =\arctan(t)+C\,$

C是完全任意的。然而，C的最佳選擇是使當t = 0 時，τ = 0，因為這樣不會改變在t = 0定義的 IC；因此，取C = 0。請注意，無論選擇什麼C，BC 都會保持不變，除非它們是時間相關的，在這種情況下，它們會發生變化。IBVP 變成了

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,\tau )=0\,$

$u(1,\tau )=0\,$

找出解決方案並恢復原始變數

$u(x,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\tau }\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

${\Big \Downarrow }$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\arctan(t)}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

需要注意的是，與之前的所有例子不同，問題的物理學（如果有的話）無法幫助我們。同樣值得一提的是，該解在長時間內並不限制於u = 0。

總結

變數變換對於偏微分方程的工作方式略有不同，因為由於偏微分，您擁有很大的自由度。在本章中，我們選擇了似乎是變換的一個良好通用形式（受阻礙容易解決的原因啟發），寫下了一堆要求，並定義了變換以唯一地滿足這些要求。對常微分方程做同樣的事情往往會導致打字猴子這種情況。

許多簡單的微小變化不言而喻。例如，我們迄今為止一直使用長度為“1”的杆或相隔“1”距離的板。如果杆長 5 米？那麼空間將不得不使用以下變換進行無量綱化

$x=5\ {\mbox{m}}\cdot {\hat {x}}\,$

簡單的無量綱化很簡單；但是對於具有更多項的偏微分方程，它會導致尺度分析，這會導致微擾理論，所有這些都將在後面的章節中解釋。

值得注意的是，IBVP 的物理學通常會建議需要進行哪種變換。即使是一些非線性問題也可以用這種方式解決。

這個主題還沒有結束，變數的變化將在以後的章節中再次討論。