工程師和科學家進階數學/無量綱化

無量綱化

簡介

你可能已經注意到，到目前為止，所有問題的處理中都存在一些奇怪的地方：像 $0$ 或 $1$ 這樣的“簡單”數字不斷出現在邊界條件和其他地方。例如，我們已經處理了以下邊界條件：

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

這是因為作者偷懶，想要簡化這本書嗎？不，其實作者確實很懶，但這實際上是由於一個叫做**無量綱化**的現象造成的。

在基本層面上，無量綱化做了兩件事

• 從問題中消除所有單位。
• 使相關變數的取值範圍在 $0$ 到 $1$ 之間（或更小的範圍）。

第二點有著非常重要的影響，我們將在後面討論。現在我們先談談如何從問題中消除單位：這是非常重要的，因為大多數自然函式在輸入單位時都沒有意義。例如，$\sin(2.0s)$ 是一個毫無意義的表示式（如果你不相信，可以考慮它的泰勒展開式）。

不要誤解：你可以保留單位來解決任何問題。這就是為什麼角速度的單位是赫茲 ($s^{-1}$)，因此，$\sin(2.0Hzt)$ 在 $t$ 以秒為單位（或可以轉換為秒）的情況下是有意義的。

透過觀察變數與維度（“維度”包括大小和單位）的比率不斷出現，可以找到無量綱化的動機。讓我們看看，如果將兩塊平行板之間的距離設為 $D$（而不是 $1$）來求解穩態平行板流動（一個常微分方程）會發生什麼：

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

現在，讓我們先不考慮$y$和$L$的維數。求解這個邊界值問題

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\qquad \Rightarrow \qquad u={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}y^{2}+C_{1}y+C_{0}\,$

$u(0)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}\cdot 0^{2}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

$u(D)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D^{2}+C_{1}D\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}(y^{2}-Dy)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}\left(\left({\frac {y}{D}}\right)^{2}-{\frac {y}{D}}\right)\,$

注意，我們有$y/D$出現。這不是巧合；這意味著無量綱問題（或者至少是半無量綱問題。我們還沒有討論$u$的維數）可以透過改變$y$變數來建立

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

${\hat {y}}$ 是 $y$ 的歸一化版本，它在 $0$ 到 $1$ 之間變化，其中 $y$ 從 $0$ 到 $D$。據稱$y$ 被 $L$ 縮放了。

這個新變數可以代入問題中

$u({\hat {y}})={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

由於新變數不包含單位，如果 $u$ 具有速度單位，則有理係數必須具有速度單位。考慮到這一點，係數可以除以

${\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

我們可以定義另一個新變數，無量綱速度

${\hat {u}}={\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}\,$

將此代入方程

${\hat {u}}({\hat {y}})={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

現在是時候問一個重要的問題了：為什麼？

有很多好處。原始問題涉及 4 個引數：粘度、密度、壓力梯度和壁面分離距離。在這個完全無量綱化的解決方案中，恰好沒有這樣的引數。上面的簡化方程完全描述瞭解的行為，它包含了所有相關資訊。

一個無量綱問題的解比一個特定有量綱問題的解要有用得多。如果問題只產生數值解，這尤其如此：求解無量綱問題會大大減少需要製作的圖表和圖形的數量，因為你減少了可能影響解的引數數量。

這引出了另一個重要的問題，也是本章的總結：在這裡，我們首先解決了一個通用的有量綱問題，然後將其無量綱化。對於更復雜的問題，我們可能沒有這種奢侈。能否事先將其無量綱化？當然可以。回顧一下 BVP

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

請注意，$y$ 在我們感興趣的域中，從 $0$ 變化到 $D$。因此，用 $D$ 縮放 $y$ 是 自然 的。

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

請注意，我們也可以用 $\pi D$ 或者 e^10.0687 D 等數字來縮放 $y$，並且仍然得到 $y$ 的無量綱化，以及所有數學上的合理性。但是，$D$ 本身 是最佳選擇，因為得到的變數 ${\hat {y}}$ 將從 $0$ 變化到 $1$。透過這種縮放選擇，該變數除了無量綱化之外，也被稱為 歸一化；歸一化對於數學簡化、準確的數值評估、尺度感以及其他原因來說都是一個理想的屬性。

那 $u$ 呢？$y$ 的特性是已知的，但 $u$ 則不然（為什麼要解決問題呢？）。讓我們為 $u$ 的未知尺度想出一個名稱，比如 $u_{s}$，並使用這個未知常數來歸一化 $u$

${\hat {u}}={\frac {u}{u_{s}}}\qquad \Rightarrow \qquad u=u_{s}{\hat {u}}\,$

使用鏈式法則，新的變數可以代入微分方程

${\frac {du}{dy}}={\frac {d}{dy}}(u)={\frac {d}{dy}}(u_{s}{\hat {u}})=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\,$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left({\frac {du}{dy}}\right)={\frac {d}{dy}}\left({\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{dy}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{d{\hat {y}}}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

因此我們現在有了導數。可以將其代入微分方程

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

${\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u_{s}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

請記住，$u_{s}$ 是從空氣中提取的一個常數。 因此，它可以是我們想要的任何值。 為了使方程無量綱化並儘可能地簡化它，我們可以選擇

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

這樣，常微分方程就會變成

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\,$

邊界條件是齊次的，因此它們可以很容易地簡化。 注意到當$y=D$ 時，${\hat {y}}=1$

${\hat {u}}(0)=0\,$

${\hat {u}}(1)=0\,$

現在可以很快地解決這個問題

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\qquad \Rightarrow \qquad {\hat {u}}={\frac {{\hat {y}}^{2}}{2}}+C_{1}{\hat {y}}+C_{0}\,$

${\hat {u}}(0)=0={\frac {0^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

${\hat {u}}(1)=0={\frac {1^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 1\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {1}{2}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\hat {u}}({\hat {y}})={\frac {1}{2}}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

因此，這與從量綱解推導的無量綱解並不完全相同：右側有一個因子為$1/2$。因此，$u_{s}$ 缺少 $2$。這不是問題，兩種推導都解決了問題並對其進行了無量綱化。請注意，在這樣做時，我們甚至在求解 BVP 之前就得到了以下結果

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

這說明了速度的大小。

在結束本章之前，值得一提的是，一般來說，如果 ${\hat {u}}=uu_{s}+C_{u}$ 並且 ${\hat {y}}=yy_{s}+C_{y}$，其中 $u_{s}$，$y_{s}$，$C_{u}$ 以及 $C_{y}$ 都是常數，

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial y^{n}}}={\frac {\partial ^{n}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{n}}}\cdot {\frac {u_{s}}{y_{s}^{n}}}\,$

萊布尼茲記號絕對是一件好事。