物理化學/狀態函式

以下演示了什麼是狀態函式，什麼不是狀態函式。

$q_{rev}\;$對於服從範德華方程的氣體來說，不是精確微分，但${\frac {q_{rev}}{T}}$是，如下所示

$dq_{rev}\;=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{v}dT+\left[P_{ext}+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]dV$

我們假設準靜態情況，因此 $P_{ext}=P\;$.

$dq_{rev}\;=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{v}dT+\left[P+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]dV$

$=C_{v}dT+\left[P+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]dV$

$=C_{v}dT+\left[P+\left({\frac {a}{{\overline {V}}^{2}}}\right)\right]dV$

$=C_{v}dT+\left({\frac {RT}{{\overline {V}}-b}}\right)dV$

現在，您需要進行交叉偏導數。

$\left({\frac {\partial C_{v}}{\partial V}}\right)_{T}=0$

$\left({\frac {\partial \left({\frac {RT}{{\overline {V}}-b}}\right)}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {R}{{\overline {V}}-b}}$

它們並不相等；因此，$q_{rev}\;$不是精確微分（不是狀態函式）。

但是，如果我們取 ${\frac {q_{rev}}{T}}$它將是精確微分（狀態函式）。

${\frac {dq_{rev}}{T}}={\frac {C_{v}}{T}}dT+\left({\frac {R}{{\overline {V}}-b}}\right)dV$

求交叉偏導數。

$\left({\frac {\partial \left({\frac {C_{v}}{T}}\right)}{\partial V}}\right)_{T}=0$

$\left({\frac {\partial \left({\frac {R}{{\overline {V}}-b}}\right)}{\partial T}}\right)_{V}=0$

兩者相等，使${\frac {q_{rev}}{T}}$成為精確微分（狀態函式）。