物理練習/能量守恆

神奇的投石索

第一部分。 (中等)

許多運動學問題，一旦掌握了基本的運動方程，就會變得相對簡單。當所有的方程到位時，能量守恆也很簡單。那麼問題就變成了處理這兩者的問題。以一個簡單的投石索為例，它在一個垂直於重力方向的軸上旋轉。然後釋放這個投石索，有效載荷在著陸之前行駛一段距離 R，然後到達它應該到達的地方。

對於一個簡單的投石索，這是一個純粹的運動學問題。重力向下拉動有效載荷，因為它以如下方式移動

$y''(t)=-g$ $x''(t)=0$

因此，每個軸的運動方程為

$y(t)=-gt^{2}/2+V_{\mathrm {y_{0}} }t+y_{0}$ $x(t)=V_{\mathrm {x_{0}} }t+x_{0}$

從那裡，就可以計算出給定的射程

$g$ ，重力常數，即 9.81 米/秒²
$x_{0}$ ，物體在時間 t=0 時在 x 座標中的位置
$x_{0}$ ，物體在時間 t=0 時在 y 座標中的位置
$V_{\mathrm {x_{0}} }$ ，物體在時間 t=0 時在 x 座標中的速度
$V_{\mathrm {y_{0}} }$ ，物體在時間 t=0 時在 y 座標中的速度。

因此，使用這組方程，任何人都可以計算出射程。只需在 x 方程中求解 t，將 t 的這個值代入 y 方程。如果有一個平面，其函式為 y=0，或其他一些函式 y=f(x)，則這種方法將有效，這就是我更喜歡它的原因。只需找到這兩個函式（地面函式和新建立的函式）的交點，就可以求解當函式碰撞時的 x。使用此結果求解 y。如果問題要求，使用求得的 x 值，用它求解 t。

因此，假設有一個球，它在長度為 r 的繩子上，始終以切線速度 V 運動。使用純運動學，找到這個球的射程，作為釋放角的函式。找到球的最大射程。

a.) 到底是用下旋球好還是用上旋球好？
b.) 哪個角度可以獲得最大的射程？
c.) 哪個角度可以讓球直接穿過投石索圓圈的中心？

第二部分。 (困難)

將投石索變成彈弓。在這個彈弓上，釋放角度是多少才能獲得最佳射程？注意，相對於角度的速度不再恆定。它將隨著高度的增加而線性增加，就像下降的重量的速度隨著它接近地面而增加一樣。

a.) 彈弓的射程是多少？
b.) 最大射程是多少？

第三部分。 (非常困難)

現在讓我們加大規模。回到投石索。現在圓圈的半徑非常大，以至於圓圈底部和頂部之間的勢能差不可忽略。假設這是唯一的變化

a.) 投石索的射程是多少，作為釋放角的函式？
b.) 哪個角度可以獲得最大的射程？
c.) 到底是用下旋球好還是用上旋球好？
d.) 哪個角度可以讓它穿過圓圈的中心？

(如果你像我一樣得到關於 cos²(θ) 的四次方程，就把那個方程貼出來。)