物理習題/材料強度

練習題

過高的塔

部分 1. (簡單)

1.) 考慮一塊具有恆定橫截面積的高材料塊。由於該塊具有質量，它對它下面的材料施加一定量的壓力。最終，在一定高度上，物體的自身質量必須導致塔崩塌。對於密度為 $\rho$ 、抗拉強度為 $\sigma _{t}$ 的材料，在重力為 $g$ 的行星上，它的高度是多少？

計算以下物質的最大高度（米）：

鐵
鉛
混凝土

部分 2. (中等)

2.) 哇，那真的很高。在幾公里的範圍內，顯然氣壓會減弱，所以塔可以稍微高一點，考慮到它承受的壓力不會那麼大。由於塔的高度在幾英里範圍內，因此需要從表格中確定氣壓。w:大氣壓列出了以下公式

在 86 公里（或 278,400 英尺）以下的不同高度範圍內計算氣壓，有兩個不同的公式。當標準溫度下降率不等於零時，使用公式 1；當標準溫度下降率等於零時，使用公式 2。

公式 1

{P}=P_{b}\cdot \left[{\frac {T_{b}}{T_{b}+L_{b}\cdot (h-h_{b})}}\right]^{\frac {g_{0}\cdot M}{R^{*}\cdot L_{b}}}

公式 2

{P}=P_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}\cdot M\cdot (h-h_{b})}{R^{*}\cdot T_{b}}}\right]

其中

P

= 靜壓（帕斯卡）

T

= 標準溫度（開爾文）

L

= 標準溫度下降率（每米開爾文）

h

= 海拔高度（米）

R^{*}

= 空氣通用氣體常數：8.31432×10³ N·m / (kmol·K)

g_{0}

= 重力加速度常數 (9.80665 m/s²)

M

= 地球大氣的摩爾質量 (28.9644 g/mol)

下表中顯示了大氣層的七個連續層，下標 b 的值從 0 到 6，分別對應每個連續層。在這些公式中，g₀、M 和 R^* 都是單值常數，而 P, L, T, 和 h 都是多值常數，其值與下表一致。需要注意的是，M, g₀ 和 $R^{*}$ 的值是根據 1976 年美國標準大氣模型得出的， $R^{*}$ 特別是不符合該常數的標準值。^[1] P_b 的參考值，當 b = 0 時，為定義的海平面值，P₀ = 101325 帕斯卡或 29.92126 英寸汞柱。P_b 的值，當 b = 1 到 b = 6 時，是透過在 $h=h_{b+1}$ 時，應用公式 1 和 2 中適當的一對方程得到的。:^[1]

下標 b	海拔高度		靜壓		標準溫度 (K)	溫度遞減率
下標 b	(m)	(ft)	(帕斯卡)	(英寸汞柱)	標準溫度 (K)	(K/m)	(K/ft)
0	0	0	101325	29.92126	288.15	-0.0065	-0.0019812
1	11,000	36,089	22632.1	6.683245	216.65	0.0	0.0
2	20,000	65,617	5474.89	1.616734	216.65	0.001	0.0003048
3	32,000	104,987	868.019	0.2563258	228.65	0.0028	0.00085344
4	47,000	154,199	110.906	0.0327506	270.65	0.0	0.0
5	51,000	167,323	66.9389	0.01976704	270.65	-0.0028	-0.00085344
6	71,000	232,940	3.95642	0.00116833	214.65	-0.002	-0.0006096

假設此表格是準確的

使用您之前找到的高度，透過此公式找到大氣壓力的通用值。考慮到最終抗壓強度很可能是在海平面大氣中測定的，這些材料的新最大高度是多少？

第 3 部分。 (中等難度)

3.) 這增加了數米。也許更有趣的是地球重力的變化。考慮到地球的重力按如下方式變化

g{\frac {R^{2}}{(R+h)^{2}}}\,

其中

g 是半徑為 R（即塔底）處的重力
h 是粒子在地表以上的距離
R 是地球的半徑

用給定量找到新的最大高度。並加上大氣壓。

第 4 部分。 (困難)

4.) 這也增加了數米。但要真正增加高度，就需要非恆定的橫截面積。那麼，如果塔實際上是一個圓錐體呢？用給定的量找到一個將塔的最大高度與塔的圓錐角相關的方程。如果塔底的直徑只能為 $D$ 米，塔的最大高度是多少（忽略大氣壓和重力的變化，否則積分無法計算）。

第 5 部分。 (非常困難)

5.) 雖然圓錐體可以使高度非常有用，但如果您可以為面積選擇任何以高度為函式的函式呢？是否可以使用地球重力場的減弱來建造一座能夠無限高度的塔？如果不是，什麼形狀可以使塔的最大高度最大，假設塔的直徑不能大於 $D$ 。 (注意：目前尚未找到解決方案)。

我稍後會發布答案。我在某個時候將這個問題作為一項思維練習，我知道這些塔的最高高度一般為數英里，對某些較輕的材料來說甚至可以達到十多英里。

參考文獻

↑ ^a ^b 美國標準大氣，1976 年，美國政府印刷局，華盛頓特區，1976 年。 (連結檔案很大)

[USSA1976-1] 美國標準大氣，1976 年，美國政府印刷局，華盛頓特區，1976 年。 (連結檔案很大)

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